Волновые функции состояний свободной частицы (со спином Y2) с определенными значениями j момента представляют со- бой спинорные сферические волны. Определим их вид, для чего напомним предварительно аналогичные формулы нерелятивист- ской теории. Нерелятивистская волновая функция есть 3-спинор ф = ц2) • Для состояния с определенными значениями энергии ? (а с нею и величины импульса р *)), орбитального момента /, полного мо- мента j и его проекции т волновая функция имеет вид ф = R /(г)О-/ (в ш) B4 1) Ее угловая часть ftjim — трехмерные спиноры, компоненты ко- торых (для двух значений j = / ± Y2, возможных при данном /) даются формулами Г1±ТПу 1 1 т — 1,т-1/2 B4.2) (см. III, § 106, задача). Будем называть ftjim шаровыми спинора- ми. Они нормированы условием /¦ = SjjtSutSmmt. B4.3) Радиальные же функции Rpi представляют собой общий мно- житель в обеих компонентах спинора ф и даются формулой В этом параграфе р обозначает |р|. 112 ФЕРМИОНЫ C3.10) (см. III): RPi = J-^-Ji+i/2(Pr)- B4.4) Они нормированы условием оо fr2Rp4Rpldr = 2nS(pf -p). B4.5) о Возвращаясь к релятивистскому случаю, напомним прежде всего, что для движущейся частицы не существует раздельных законов сохранения спина и орбитального момента: операторы shI каждый в отдельности не коммутируют с гамильтонианом. По-прежнему, однако, сохраняется (для свободной частицы) чет- ность состояния. Поэтому квантовое число / теряет смысл ука- зания на определенное значение орбитального момента, но им определяется (см. ниже) четность состояния. Условимся рассматривать искомую волновую функцию (би- спинор) в стандартном представлении: ф = (^). По отношению к вращениям ср и х веДУт себя как 3-спиноры. Поэтому их угловая зависимость дается теми же шаровыми спинорами ftjim. Пусть if ос Oj/m, где / — одно (определенное) из двух значений: j + l/2 или j— 1/2. При инверсии (р(г) —>• гср(-т) (см. B1.18)), и поскольку ftjlm(-n) = (—l)'^7m(n), то Составляющие же х веДУт себя при инверсии согласно х(г) ~^ —>• — гх(~г)- Для того чтобы состояние обладало определенной четностью (т. е. чтобы при инверсии все компоненты умножа- лись на один и тот же множитель), необходимо, следовательно, чтобы угловая зависимость х давалась шаровым спинором fLji'm с другим (из двух возможных) значением /: поскольку эти зна- чения различаются на 1, то (—II = — (—II. Далее, радиальная зависимость (р и х будет определяться те- ми же функциями Rpi и Rpi' (со значениями / и /7, отвечающими порядку входящих в ftjim шаровых функций). Это ясно из того, что каждая из компонент ф удовлетворяет уравнению второго порядка (р2 — т2)ф = 0, которое при заданном значении |р| име- ет вид (А + р2)^ = 0, формально совпадающий с нерелятивистским уравнением Шре- дингера для свободной частицы. 24 СФЕРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ 113 Таким образом, Ч> = ARplttjlm, X = BRpi'uji'm, B4.6) и остается определить постоянные коэффициенты А ж В. Для этого исследуем удаленную область, в которой сферическую вол- ну можно рассматривать как плоскую. Согласно асимптотиче- ской формуле C3.12) (см. III) B4.7) так что (р представляет собой разность двух плоских волн, рас- пространяющихся в направлениях ±п (п = г/г). Для каждой из них имеем согласно B3.8) Х= : + т Из сказанного выше (формулы B4.6)) ясно, что (ncr)Qjim = = aftjifmi где а —постоянная. Эту постоянную легко определить, сравнив значения обеих сторон равенства при т = lfe и направ- лении п вдоль оси z. Использовав G.2а), найдем /п \г). 7^~^О • / f24 R\ Собрав написанные формулы и сравнив с B4.6), получим В = — А. е + т Наконец, коэффициент А определяется общей нормировкой ф. Нормируя ф условием ¦/ш/ d3x = 27rSjj'Su'Smm'S(p — p), B4.9) B4.10) Таким образом, при заданных значениях j и т (и энергии е) существует два состояния, различающихся своей четностью. По- следняя однозначно определяется числом /, принимающим зна- чения j zb Y2: при инверсии биспинор B4.10) умножается на г(—1) . Компоненты этого биспинора, однако, содерж:ат шаровые функции обоих порядков / и /7, в чем выражается отсутствие определенного значения орбитального момента. При г —>• оо в каждом небольшом участке пространства сфе- рические волны B4.7) можно рассматривать как плоские с им- пульсом р = ±рп. Поэтому ясно, что волновые функции в им- пульсном представлении отличаются от B4.10) в основном лишь 5jj находим окончательно 114 ФЕРМИОНЫ отсутствием радиальных множителей и приданием п смысла на- правления импульса. Для прямого перехода к импульсному представлению надо произвести разложение Фурье: ф(р') = Г\l;®e-ip'rd3x, B4.11) Интеграл вычисляется с помощью формулы разложения плоской волны по сферическим (см. III, C4.3)): ОО I / \ е^ = ^^г%1(г)ГГти)г1т{^). B4.12) У 1=0 m=-l KF/ Представляя множитель е~гр г в B4.11) в виде такого разложе- ния и учитывая B4.5), для компонент Фурье функции получаем, Стоящий здесь интеграл равен коэффициентам при шаровых функциях в определении шаровых спиноров B4.2), а вместе с множителем Yimt(p/ /р') снова образует тот же шаровой спинор, но уже от аргумента р7 /р1: Применив этот результат к биспинорной волновой функции B4.10), получим ее импульсное представление ) (^ __ ._, ^^ j . B4ЛЗ) Состояния \pjlm) совпадают с рассмотренными в § 16 состо- яниями |pjra|A|) (где |А| = 1/2): те и другие обладают опреде- ленными значениями pjm и четности. Поэтому шаровые спи- норы Sljim выражаются через функции D^ (те и другие —от аргумента р/р). При р —)> 0 волновые функции B4.13) сводятся к 3-спинорам Qjim, четность которых Р = r/(—1I (где г/ = г — «внутренняя четность» спинора). Сравнение с результатами § 16 приводит к следующей формуле: -l/2m ± W 1Jl/2m) (при I = j T V2)? гДе ^^A^ — 3-спиноры B3.14).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Сферические волны» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
В этом параграфе р обозначает |р|. 