Частица со спином 1/2 описывается в своей системе покоя двухкомпонентной волновой функцией — 3-спинором. По своему «четырехмерному происхождению» это может быть как непунк- тирный, так и пунктирный 4-спинор. В описании частицы в про- извольной системе отсчета участвуют оба таких 4-спинора; обо- значим их посредством (а и г|а !). Для свободной частицы единственным оператором, входящим в волновое уравнение, может быть (как уже указывалось в § 10) лишь оператор 4-импульса р^ = гд^. В спинорных обозначениях этому 4-вектору соответствует операторный спинор р л, причем PU=P22=Po+Pz, P22 =Pii =Ро -Pz, B0.1) Р12 = -Р2\ =Рх- Фу, Р21 = -Рп =Рх + Фу. Волновое уравнение представляет собой линейную дифференци- альную связь между компонентами спиноров, осуществляемую с помощью оператора раь. Требование релятивистской инвари- антности фиксирует следующую систему уравнений: р^щ = те, Щае = тщ, B0.2) где т — размерная постоянная. Вводить в эти два уравнения различные постоянные rai и Ш2 (или же изменить знак перед га) было бы бессмысленно, так как надлежащим переопределе- нием ^а или г]& уравнения все равно могли бы быть приведены к прежнему виду. Исключим из уравнений B0.2) один из двух спиноров, под- ставив г]о из второго уравнения в первое: Но согласно A8.4) ра^р ь =р28", так что получаем {р2 - т2) С = 0, B0.3) откуда видно, что га — масса частицы. Обратим внимание на то, что необходимость введения мас- сы в волновое уравнение требует одновременного рассмотрения Трехмерный спинор первого ранга может «происходить» также от 4-спи- норов более высоких нечетных рангов, которые в системе покоя становятся антисимметричными по одной или нескольким парам индексов. Такие вари- анты, однако, привели бы к уравнениям более высоких порядков (ср. при- меч. на с. 52). § 20 УРАВНЕНИЕ ДИРАКА В СПИНОРНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ 97 двух спиноров (^а и т]а)'- с помощью лишь одного из них нельзя составить релятивистски инвариантное уравнение, которое со- держало бы какой-либо размерный параметр. Тем самым волно- вое уравнение автоматически оказывается инвариантным отно- сительно пространственной инверсии, если определить преобра- зование волновой функции как Р : Г ->¦ Щ&, Щ -> %?а. B0.4) Легко видеть, что при такой замене (и одновременной замене р®-Р —>> р а, очевидной из формул B0.1)) два уравнения B0.2) переходят друг в друга. Два спинора, переходящих друг в дру- га при инверсии, составляют четырехкомпонентную величину — биспинор. Релятивистское волновое уравнение, изображаемое системой B0.2), называется уравнением Дирака (оно было установлено Ди- раком в 1928 г.). Для дальнейшего исследования и применения этого уравнения рассмотрим различные формы, в которых оно может быть представлено. С помощью формулы A8.6) переписываем уравнения B0.2) в виде (р0 + P<r)v = raf, (р0 - i>cr)? = тг]. B0.5) Здесь символы ? и т\ обозначают двухкомпонентные величины — спиноры (первый — с верхними, а второй — с нижними индексами), а при умножении матриц а на любую двухкомпонентную величину / здесь и ниже всегда подразумевается умножение по обычному матричному правилу (<7/)а = Vapfp- B0.7) Запись / в виде вертикального столбца f ^ 1 отвечает тому, что каж:дая строка в а перемножается со столбцом /. Для удобства дальнейших ссылок выпишем здесь еще раз матрицы Паули = (? о). ".= (? о"). " = (о -0 ^ 6ik B0.9) °х = и напомним их основные свойства: (см. Ill, § 55). 4 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том IY 98 фермионы Напишем также волновое уравнение, которому удовлетворя- ет комплексно-сопряженная волновая функция, составленная из спиноров Поскольку все операторы р^ содержат множитель г, то р* = —JV При взятии комплексно-сопряженного от обеих сторон уравне- ний B0.5) надо также учесть, что в силу эрмитовости матриц сг(сг* = а) и мы получаем уравнения в виде г;*(ро + per) = -mf*, С(Ро ~ P<r) = -mrf. B0.11) В этой форме записи условно подразумевается, что оператор р^ действуют на функцию, стоящую слева от них. Запись ?* и г/* в виде горизонтальных строк соответствует матричному умноже- нию в этих уравнениях: строка / перемножается со столбцами в матрицах а: (/V)a = ffaPa. B0.12) Преобразование инверсии для ?*, г/* определяется как ком- плексно-сопряженное от преобразования B0.4): Р : Za* ^-iri*&, Vl^-ie*. B0.13)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Уравнение Дирака в спинорном представлении» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
Трехмерный спинор первого ранга может «происходить» также от 4-спи- 