При изложении (в т. III) трехмерной теории спиноров мы не рассматривали их поведения по отношению к операции про- странственной инверсии, поскольку в нерелятивистской теории это не привело бы к каким-либо новым физическим результа- там. Остановимся, однако, теперь на этом вопросе для лучше- го уяснения последующего рассмотрения инверсионных свойств 4-спиноров. Операция инверсии не меняет знака аксиального вектора, ка- ковым является вектор спина. Поэтому не меняется и значение его проекции sz. Отсюда, следует, что при инверсии каждая из компонент спинора фа может преобразовываться только через саму себя, т. е. должно быть A9.1) где Р — постоянный коэффициент. Произведя инверсию дважды, мы вернемся к исходной системе координат. В случае спиноров, однако, возвращение к начальному положению можно понимать в двух различных смыслах: как поворот системы на 0° или на 360°. Для спиноров эти два определения не эквивалентны, так как фа меняют знак при повороте на 360°. Таким образом, воз- можны две альтернативные концепции инверсии: в одном случае Р2 = 1, Р = ±1, A9.2) а в другом P2 = -l, P = ±L A9.3) § 19 ИНВЕРСИЯ СПИНОРОВ 91 Существенно при этом, что понятие инверсии должно быть определено одинаково для всех спиноров. Недопустимо, чтобы различные спиноры вели себя при инверсии различным образом (согласно A9.2) или A9.3)), так как тогда не из всяких двух спи- норов можно было бы построить скаляр (или псевдоскаляр): если бы спинор фа преобразовывался согласно A9.2), а у/*—соглас- но A9.3), то величина фа(ра умножилась бы при инверсии на ±г вместо того, чтобы оставаться неизменной (или менять только знак). Следует также подчеркнуть, что (при любом определении ин- версии) приписывание спинору той или иной четности Р не имеет абсолютного смысла, поскольку спиноры меняют знак при пово- роте на 2тг, который всегда можно произвести одновременно с инверсией. Абсолютный характер, однако, имеет «относительная четность» двух спиноров, определяемая как четность составлен- ного из них скаляра фа(ра] поскольку при повороте на 2тг меняют знак одновременно все спиноры, связанная с этим неопределен- ность не отражается на четности указанного скаляра. Обратимся теперь к четырехмерным спинорам. Отметим прежде всего, что поскольку инверсия меняет знак лишь трех (ж, у, z) из четырех (?, ж, у, z) координат, она комму- тативна с пространственными вращениями, но не коммутативна с преобразованиями, поворачивающими ось t. Если L есть преоб- разование Лоренца к системе отсчета, движущейся со скоростью V, то PL = L Р, где L' — преобразование к системе, движущей- ся со скоростью —V. Отсюда следует, что при инверсии компоненты 4-спинора ^а не могут преобразовываться через самих себя. Если бы инверсия спинора ^а заключалась по-прежнему в преобразовании A9.1) (т. е. изображалась бы матрицей, пропорциональной единичной матрице), то она коммутировала бы со всеми вообще преобразо- ваниями Лоренца, чего заведомо не должно быть (так как опе- рации LhL'b применении к ^а заведомо не совпадают). Таким образом, инверсия должна преобразовывать компо- ненты спинора ^а через другие величины. Таковыми могут быть лишь компоненты некоторого другого спинора г/а, не совпада- ющего по своим трансформационным свойствам с ^а. Посколь- ку инверсия не меняет (как уже отмечалось выше) ^-проекции спина, компоненты ?х и ?2 могут перейти при инверсии лишь в компоненты гц и^, отвечающие тем же значениям sz = XJ2 и sz = — Y2. Понимая под инверсией операцию, дающую 1 при дву- кратном повторении, можно определить ее действие формулами Г^%, Щ^?а- A9.4) 92 фермионы Для ковариантных компонент ?а и контравариантных т]а эти преобразования имеют обратный знак: ? _^ _*,<* jA -^ —{ (IQ 4а) так как опускание и поднимание одного и того же индекса про- исходит с различными знаками, см. A7.5) и A7.9) х) . Если же инверсия понимается в таком смысле, что Р2 = — 1, то ее дей- ствие определяется формулами С 7 I'ljCX') I iQL ' ^S V * / или, что то же, ? _^ —irf1 rf* —V —i? MQ *>a) Некоторое различие в характере двух определений инвер- сии состоит в том, что при втором определении комплексно- сопряженные спиноры преобразуются одинаково: если Sa = г/^, На = ?а*, то из A9.5) будем иметь Еа —>> —%В.а^ На —)> — iSa, т. е. такое же правило, как и для ?a, r/a. При определении же A9.4) мы получили бы преобразование Sa —>• i7a, Ha —>• Sa, обратное по знаку преобразованию спиноров ?a, r/a. К возможным физи- ческим аспектам этого различия мы вернемся в § 27. Ниже будем для определенности везде подразумевать опре- деление A9.5). По отношению к подгруппе вращении спиноры ^а и щ преоб- разуются, как мы знаем, одинаково. Образовав из их компонент комбинации Г±%, A9.6) мы получили бы величины, преобразующиеся при инверсии со- гласно A9.1) с Р = ±г. Эти комбинации, однако, не ведут себя как спиноры по отношению ко всем преобразованиям группы Ло- ренца. Таким образом, включение инверсии в группу симметрии тре- бует одновременного рассмотрения пары спиноров (?а, щ)] та- кую пару называют биспинором первого ранга). Четыре компо- ненты биспинора реализуют одно из неприводимых представле- ний расширенной группы Лоренца. х) Определение A9.4), конечно, в известном смысле условно, что связано с независимостью величин ^а и г]а. Так, введя вместо г]а новый спинор r]f^ = = ?tS4Jd, получим вместо A9.4) эквивалентное определение: S ^ е 4OL1 Цос ^ е S • § 19 ИНВЕРСИЯ СПИНОРОВ 93 Скалярное произведение двух биспиноров (?a,r/d) и (Еа,На) может быть образовано двумя способами. Величина ?аЗа + щН* A9.7) при инверсии вообще не меняется, т. е. является истинным ска- ляром. Величина ?аЗа - щН* A9.8) тоже инвариантна по отношению к поворотам 4-системы коор- динат, но меняет знак при инверсии; другими словами, она яв- ляется псевдоскаляром. Двумя способами может быть определен также и спинор вто- рого ранга (а@. Определив его законом преобразования H<V, A9.9) мы получим величины, преобразующиеся при инверсии согласно С4 -»¦ С&р- A9-ю) При этом 4-вектор а^, которому эквивалентен такой спинор, пре- образуется (в соответствии с формулами A8.1)) согласно (а0, а) —>• (а0,—а), т. е. является истинным 4-вектором (а трех- мерный вектор а —полярным вектором). Можно, однако, определить ?а^ также и согласно С?Р ~ ?анР - Sar]beta. A9.11) Тогда х) С* -+ -Cd/3. A9.12) Такому спинору соответствует 4-вектор, для которого инверсия означает преобразование (а0,а) —>> (—а0,а), т. е. 4-псевдовектор (трехмерный же вектор а аксиален). Симметричные спиноры второго ранга с индексами одинако- вого типа определяются законами преобразования: рР„рзР + ?0~а, г,&р~г}&Н$ + щН&. A9.13) При инверсии они переходят один в другой: х) Подчеркнем, что законы преобразований A9.10) и A9.12), различающи- еся знаком в правой стороне, отнюдь не эквивалентны, поскольку в обеих их сторонах стоят компоненты одного и того же спинора (ср. примеч. на с. 92). 94 фермионы Пара (?,a^r]ae) образует биспинор второго ранга. Число его независимых компонент равно 3+3 = 6. Столько же независимых компонент имеет антисимметричный 4-тензор второго ранга а^и. Поэтому между тем и другим должно существовать определен- ное соответствие (оба реализуют эквивалентные неприводимые представления расширенной группы Лоренца). Поскольку по отношению к собственной группе Лоренца спи- норы ?а^ и т]^о преобразуются независимо, то и из компонент 4-тензора a^v могут быть составлены две группы величин, преоб- разующихся только друг через друга при всех поворотах 4-системы координат. Это разбиение осуществляется следующим образом. Введем трехмерный полярный вектор р и трехмерный акси- альный вектор а, связанные с компонентами 4-тензора a^v согласно A9.15) ((р, а) —краткое обозначение, которое мы будем применять для перечисления компонент такого тензора). При этом а^=(—р,а), а из двух величин я2 — г»2 — ^ п n^v an- ^ n^ynP(J 2 о первая является скаляром, а вторая псевдоскаляром; по отно- шению к собственной группе Лоренца тот и другой одинаково инвариантны. Вместе с ними инвариантны также и квадраты трехмерных векторов f± = р ± га. Это значит, что всякий пово- рот в 4-пространстве для векторов f^ эквивалентен «повороту» в трехмерном пространстве, вообще говоря, на комплексные углы (шести углам поворота в 4-пространстве соответствуют три ком- плексных «угла поворота» трехмерной системы). Операция же пространственной инверсии, меняя знак р (но не а), переводит векторы f+ и — f~ друг в друга. Компоненты этих векторов и составляют искомые две группы величин, образованных из ком- понент тензора а^р'. Тем самым становится очевидным также и соответствие меж- ду компонентами 4-тензора а^р и спиноров ?°^, r/^л. Поскольку в группу Лоренца входят в качестве подгруппы пространственные вращения, соотношения между компонентами спинора и компо- нентами трехмерного вектора должны быть такими же, как для § 20 ИНВЕРСИЯ СПИНОРОВ 95 трехмерных спиноров: 1 \ A9-16) / х= 2 fe-^ii)' / у = 2 fe + ^iib / * = r?i2-
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Инверсия спиноров» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
