Рассуждения, аналогичные проведенным в § 6, позволяют произвести подсчет числа возможных состояний и в более слож- ном случае системы двух фотонов {Л. Ландау', 1948). Будем рассматривать фотоны в системе их центра инерции; импульсы фотонов ki = —к2 = к х) . Волновую функцию систе- мы двух фотонов (в импульсном представлении) можно пред- ставить в виде трехмерного тензора второго ранга А^(п) состав- ленного билинейно из компонент векторных волновых функций обоих фотонов; каждый из индексов этого тензора соответству- ет одному из фотонов (п — единичный вектор в направлении к). Поперечность же каждого из фотонов выражается ортогональ- ностью тензора Ац* вектору п: Аищ = 0, А1кщ = 0. (9.1) Взаимная перестановка фотонов означает перестановку ин- дексов тензора Aik вместе с одновременным изменением знака п. Поскольку фотоны подчиняются статистике Бозе, то Aik(-n) = Aki(n). (9.2) Тензор AM, вообще говоря, не симметричен по своим индек- сам. Разделим его на симметричную (sik) и антисимметричную (dik) части: Ац^ = Sik + а^. Соотношению (9.2) (а также усло- виям ортогональности (9.1)) должна, очевидно, удовлетворять каждая из этих частей в отдельности. Отсюда получаем sik(-n) = sik(n), (9.3) aik(-n) = -aik(n). (9.4) Инверсия системы координат сама по себе не меняет знака ком- понент тензора второго ранга, но меняет знак п. Поэтому из (9.3) видно, что волновая функция Sik симметрична по отношению к инверсии, т. е. соответствует четным состояниям системы фото- нов; волновая же функция щк отвечает нечетным состояниям. Антисимметричный тензор второго ранга эквивалентен (дуа- лен) некоторому аксиальному вектору а, компоненты которого выражаются через компоненты тензора согласно щ = 1/2Щыаки где eiki — антисимметричный единичный тензор (см. II, § 6). Ор- тогональность тензора a^i вектору п означает, что векторы а и 1) Такая система отсчета существует всегда, за исключением случая двух фотонов, движущихся параллельно друг другу в одну и ту же сторону. Сум- марный импульс ki +k2 и суммарная энергия ш\ +CJ2 таких фотонов связаны друг с другом таким же соотношением, как и для одного фотона, и потому не существует системы отсчета, в которой было бы ki + кг = 0. 48 фотон п параллельны г) . Поэтому можно написать а = п<р(п), где ср — скаляр; согласно (9.4) должно быть а(—п) = —а(п), а потому Это равенство означает, что скаляр ср может быть линейно по- строен из шаровых функций только четного порядка L (включая порядок нуль). Мы видим, что антисимметричный тензор щк по своим транс- формационным (по отношению к вращениям) свойствам эквива- лентен одному скаляру (ср. примеч. на с. 34). Сопоставив по- следнему «спин» 0, найдем, что момент состояния J = L. Таким образом, тензор щк соответствует нечетным состояниям системы фотонов с четным моментом J. Обратимся к симметричному тензору s^. Поскольку он че- тен по отношению к изменению знака п, ему отвечают четные состояния системы фотонов. Отсюда же следует, что все компо- ненты Sik выражаются через шаровые функции четного порядка L (включая L = 0). Произвольный симметричный тензор второ- го ранга Sik сводится, как известно, к скаляру (вц) и к симмет- ричному тензору (s'ik) с равным нулю следом (s^ = 0). Скаляру вц приводится в соответствие «спин» 0, а потому мо- мент отвечающих ему состояний J = L, т. е. четен. Тензору же s'ik соответствует «спин» 2 (см. III, § 57). Складывая по правилу сложения моментов этот «спин» с четным «орбитальным момен- том» L, находим, что при заданном четном J ф 0 возможны три состояния (с L = J±2, J), а при нечетном J ф 1 — два состояния (с L = J ± 1). Исключение составляет J = 0 с одним состоянием (L = 2) и J = 1 с одним состоянием (L = 2). В этих подсчетах, однако, еще не учтено условие ортогональ- ности тензора s^ вектору п. Поэтому из полученного числа со- стояний надо вычесть число состояний, которым соответству- ет симметричный тензор второго ранга, «параллельный» векто- ру п. Такой тензор (обозначим его s"k можно представить в виде sik = riibk + nkbi, где b —некоторый вектор. Согласно (9.3) этот вектор должен удовлетворять условию Ь(—п) = —b(n). Таким образом, ответ- ственный за «лишние» состояния тензор s"k эквивалентен нечет- ному вектору. Этот вектор должен, следовательно, выражаться через шаровые функции только нечетных порядков L. Заметив Имеем: a,ik = e-iki&i-, и условие ортогональности дает = [па] г = 0. J 0 1 2k 2A; + 1 Четные 1 — 2 1 Нечетные 1 — i — § 9 СИСТЕМА ДВУХ ФОТОНОВ 49 также, что вектору соответствует «спин» 1, найдем, что для ка- ждого четного момента J ^ 0 возможны два состояния (с L = = J ± 1), а для каждого нечетного J — одно состояние (с L = = J); особый случай представляет J = 0 с одним состоянием (L = 1). Сведя вместе полученные результаты, получим следую- щую таблицу, указывающую число возможных четных и нечет- ных состояний системы из двух фотонов (с равной нулю суммой импульсов) для различных значений полного момента J: (9.5) (к — целое положительное число, отличное от нуля). Мы видим, что при нечетных J отсутствуют нечетные состояния, а значение J = 1 вообще невозможно г) . Волновая функция системы двух фотонов А^к определяет корреляцию их поляризаций. Вероятность того, что два фотона одновременно имеют определенные поляризации ei и в2, пропор- циональна ^г/се1ге2Аг Другими словами, если задана поляризация ei одного фотона, то поляризация второго в2 пропорциональна е2* с* Аке*и. (9.6) В нечетных состояниях системы А^ совпадает с антисим- метричным тензором СЦ&. При этом e2ei ос а{ке[{е\к = О, т. е. поляризации обоих фотонов взаимно ортогональны. В слу- чае линейной поляризации это означает перпендикулярность их направлений, а в случае круговых поляризаций — противополож- ность направлений вращения. Четное состояние с J = 0 описывается симметричным тензо- ром, сводящимся к скаляру Sik = const • (Sik - щпк). Поэтому из (9.6) получим ei = e^. В случае линейной поляри- зации это означает параллельность их направлений, а в случае круговых поляризаций — снова противоположность направлений вращения. Последнее обстоятельство очевидно: при J = 0 во вся- ком случае должна быть равна нулю сумма проекций моментов фотонов на одно и то же направление к (проекции же на проти- воположные направления ki и к2, т. е. спиральности, при этом одинаковы).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Система двух фотонов» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
Имеем: a,ik = e-iki&i-, и условие ортогональности дает 