Уравнение у" - 2ху + 2пу = 0 (а.1) относится к типу уравнений, которые могут быть решены с по- мощью метода Лапласа г). Этот метод применим вообще к линейным уравнениям вида «т+ &¦»*)?? = О, т=0 коэффициенты которого не выше первой степени по ж, и заклю- чается в следующем. Составляем полиномы п п P(t) = ? <*mtm, Q(t) = E bmtm 171=0 771=0 и с их помощью функцию определенную с точностью до постоянного множителя. Тогда ре- шение рассматриваемого уравнения может быть выражено в ви- де комплексного интеграла у = Z(t)extdt, С где путь интегрирования С выбран так, чтобы интеграл имел значение конечное и отличное от нуля, причем функция V = extQZ должна возвращаться к своему начальному значению, после того как t опишет всю линию С (контур С может быть как замкну- тым, так и незамкнутым). В случае уравнения (а.1) имеем -L — ь ~\ ZiY\i\ \cJ — —Zib * aj — "rz" С , v — б • iv i c\±n-\-L i ±П ' 1)См., например, Э. Гурса. Курс математического анализа. Т. П. -М.: Го- стехиздат, 1933; В. И. Смирнов. Курс высшей математики. Т. III, часть 2. -М.: Наука, 1974. 780 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ ГЛ. XVIII меет вид = J exp(xt- ^)^тт- (а.2) так что его решение имеет вид У Для физических применений достаточно ограничиться рас- смотрением значений п > —1/2. Для таких п можно выбрать в качестве пути интегрирования контуры С\ или С*2 (рис. 52), удо- влетворяющие необходимым условиям, поскольку на их концах (t = +ос или t = —ос) функция V обращается в нуль1). Выясним, при каких значениях параметра п уравнение (а.1) имеет решения, конечные при всех конечных значениях х и стре- мящиеся при х —>• ±ос к бесконечности не быстрее конечной степени х. Рассмотрим сначала нецелые значения п. Интегралы (а.2) по С\ и С*2 дают здесь два независимых решения уравнения (а.1). Преобразуем интеграл по Ci, введя переменную и согласно t = 2{х — и). Находим, опуская постоянный множитель, ^TTdu, (a.3) где интегрирование производится по контуру С[ в плоскости комплексного переменного и, изображенному на рис. 53. Рис. 52 Рис. 53 При х —>• +оо весь путь интегрирования С[ сдвигается на бесконечность, и интеграл в формуле (а.З) стремится к нулю, -<г2 тт как е . Но при х —>- — сю путь интегрирования простирается вдоль всей вещественной оси, и интеграл в (а.З) не стремится к нулю экспоненциально, так что функция у{х) обращается в бес- 2 конечность в основном, как ех . Аналогично легко убедиться в том, что интеграл (а.2) по контуру С2 расходится экспоненци- ально при х —>> ос. При целых же положительных значениях п (включая значе- ние нуль) интегралы вдоль прямолинейных участков пути ин- тегрирования взаимно уничтожаются, и оба интеграла (а.З) — по С[ и С*2 — сводятся к интегралу по замкнутому пути вокруг ) Эти пути непригодны при целых отрицательных п, поскольку при та- ких п интеграл (а.2) вдоль них обратился бы тождественно в нуль. ФУНКЦИЯ ЭЙРИ 781 точки и = х. Таким образом, мы получим решение удовлетворяющее поставленным условиям. Согласно известной формуле Коши для производных от аналитической функции /(n)/T\ _ ^_ 2тгг/ (t-x)n+1 это есть, с точностью до постоянного множителя, полином Эр- мита тт / \ / -л\п т2 dn _Т2 , ,ч Нп(х) = {-!) ех —-е х . (а.4) В раскрытом виде полином Нп, расположенный по убываю- щим степеням ж, имеет вид Он содержит степени х только той же четности, что и число п. Выпишем несколько первых полиномов Эрмита Щ = 1 Нг = 2х, Н2 = 4ж2 - 2, Я3 = 8ж3 л о Я4 = 16ж4 - 48ж2 + 12. о (а-6) 2 + 12 Для вычисления нормировочного интеграла заменяем е~х Нп выражением из (а.4) и, интегрируя п раз по частям, получим Но dnHn/dxn есть постоянная, равная 2пп!; в результате полу- чим + ОО >-x2Hl(x)dx = 2nn\^. (а.7)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Полиномы Эрмита» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
