Неупругие столкновения быстрых электронов с атомами
Неупругие столкновения быстрых электронов с атомами мо- гут быть рассмотрены с помощью борновского приближения аналогично тому, как это было сделано в § 139 для упругих столкновений2). Условие применимости борновского приближе- ния по-прежнему требует, чтобы скорость падающего электрона была велика по сравнению со скоростями атомных электронов. Что же касается потери энергии при столкновении, то она может быть любой. Если электрон теряет значительную часть своей энергии, то это приводит к ионизации атома, причем энергия передается одному из его электронов. Но мы всегда можем счи- тать рассеянным тот из обоих электронов, который имеет после столкновения большую скорость, и, таким образом, при большой скорости падающего электрона будет велика также и скорость рассеянного. При столкновениях электрона с атомом систему коорди- нат, в которой покоится их центр инерции, можно считать, 1) Упомянем еще один интересный случай околопороговых реакций — ионизация атома электроном, энергия которого лишь немного превосходит энергию первой ионизации атома. В этих условиях процесс столкновения мо- жет рассматриваться как квазиклассический, но задача очень усложняется наличием трех заряженных частиц в конечном состоянии. Общее решение этой трудной задачи дано Ваннье (G.H. Wannier// Phys. Rev. 1953. V90. P. 817). Вероятность ионизации нейтрального атома оказывается пропорци- ональной: {Е-IT, где а = A/4)(д/91/3 — 1) = 1,13,, Е — I—избыток энергии электрона над порогом ионизации. ) Большинство результатов, излагаемых в § 148—150, было получено Бете (H.A.Bethe, 1930). 750 НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ. XVIII как уже указывалось, совпадающей с системой, в которой по- коится атом; ниже мы будем говорить именно об этой последней системе. Неупругое столкновение сопровождается изменением внут- реннего состояния атома. Атом может перейти из нормального состояния в возбужденное состояние дискретного или непрерыв- ного спектра; в последнем случае это означает ионизацию ато- ма. При выводе общих формул эти случаи можно рассматривать вместе. Исходим (как и в § 126) из общей формулы для вероятности перехода между состояниями непрерывного спектра, применяя ее к системе, состоящей из падающего электрона и атома. Пусть р, р' — импульсы падающего электрона, а Eq, Еп — энергии ато- ма соответственно до и после столкновения. Для вероятности перехода имеем вместо A26.9) выражение )^, A48.1) где матричный элемент берется от энергии взаимодействия па- дающего электрона с атомом (г — радиус-вектор падающего электрона, та — атомных электро- нов, начало координат выбрано в ядре атома; гп— масса элек- трона) . Волновые функции фр, фр/ электрона определяются прежни- ми формулами A26.10), A26.11); тогда dw есть сечение столкно- вения da. Волновые функции атома в исходном и конечном со- стояниях обозначим через фо, фп. Если конечное состояние ато- ма относится к дискретному спектру, то фп (как и фо) норми- рована обычным образом на единицу. Если же атом переходит в состояние непрерывного спектра, то волновая функция нор- мируется на (^-функцию от параметров z/, определяющих эти состояния (этими параметрами могут быть, например, энергия атома, компоненты импульса вылетевшего из атома при иони- зации электрона). Получающиеся в результате сечения опреде- ляют вероятность столкновения с переходом атома в состояния непрерывного спектра, лежащие в интервале значений парамет- ров между v и v + dv. Интегрирование в A48.1) по абсолютной величине р' дает 1148 СТОЛКНОВЕНИЯ БЫСТРЫХ ЭЛЕКТРОНОВ С АТОМАМИ 751 где р определяется из закона сохранения энергии р ~р = Еп- Ео. A48.2) 2га Подставив в матричный элемент волновые функции электрона из A26.10), A26.11), получим 2 dan = т2 !!• do A48.3) (dr = dV\dV2 ... dVz — элемент конфигурационного простран- ства Z электронов атома, штрих у do опускаем)г). При п = 0 и Р — р' формула A48.3) переходит в формулу для сечения упру- гого рассеяния. В силу ортогональности функций фп и фо член в С/, содержа- щий взаимодействие Ze2/г с ядром, исчезает при интегрирова- нии по rfr, и, таким образом, имеем для неупругих столкновений 2 dan = m2 p' Е do. A48.4) Интегрирование по dV может быть произведено подобно то- му, как это было сделано в § 139. Интеграл совпадает формально с компонентной Фурье потенциала, созда- ваемого в точке г зарядами, распределенными в пространстве с плотностью р = 6(г — га). Поэтому по A39.1) находим (pq(ra) = —е м . A4o.oJ q Подставив это выраж:ение в A48.4), приходим окончательно к следующему общему выражению для сечения неупругих столк- новений: dan = П2 ) kq4 п 0) do, A48.6) где матричный элемент берется по волновым функциям ато- ма, а вместо импульсов введены волновые векторы к = р/Н, ) В таком виде это есть общая формула теории возмущений, применимая не только к столкновениям электронов с атомом, но и к любым неупругим столкновениям двух частиц, определяющая сечение рассеяния в системе ко- ординат, в которой покоится центр инерции частиц (га есть тогда приведен- ная масса обеих частиц). 752 НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ. XVIII к' = pf/fi. Эта формула определяет вероятность столкновения, при котором электрон рассеивается в элемент телесного угла do, а атом переходит в n-е возбужденное состояние. Вектор —Hq представляет собой импульс, передаваемый электроном атому при столкновении. При вычислениях бывает удобнее относить сечение не к эле- менту телесного угла, а к элементу dq абсолютных значений век- тора q. Вектор q определен как q = k7 — к; для его абсолютной величины имеем q2 = к2 + к12 - 2кк' cos tf. A48.7) Отсюда при заданных /с, к', т.е. при заданной потере энергии электроном, q dq = kkf sin 0 dtf = ^- do. A48.8) Поэтому формулу A48.6) можно переписать в виде а Вектор q играет существенную роль в дальнейших вычис- лениях. Рассмотрим подробнее его связь с углом рассеяния $ и передаваемой при столкновении энергией Еп — Eq. Мы уви- дим ниже, что основную роль играют столкновения, вызываю- щие рассеяние на малые углы (# <С 1) с передачей энергии, ма- лой по сравнению с энергией Е = mv2/2 падающего электрона: Еп — Ео <С Е. Разность к — к' при этом тоже мала {к — к' <^к), и потому Еп-Е0 = —(к2 - к'2) « —к(к - к1) = Hv(k - к1). 2т т В силу малости $ имеем из A48.7) q2 ~ (к — к'J + (kfiJ и, окон- чательно, ^) A48.10) Минимальное значение q: qmin = BlzE°. A48.11) nv При малых углах можно еще различать различные области в зависимости от соотношения между малыми величинами $ и vq/v (vo — величина порядка скорости атомных электронов). Если рассматривать передачи энергии порядка энергии ?q атом- ных электронов (Еп — Ео ~ во ~ rav^), то при (vo/vJ <C $ ^С 1 A48.12) § 148 СТОЛКНОВЕНИЯ БЫСТРЫХ ЭЛЕКТРОНОВ С АТОМАМИ 753 (первый член под знаком корня в A48.10) может быть опущен по сравнению со вторым); следовательно, в этой области углов q не зависит от величины передаваемой энергии. При й < 1 ве- личина q может быть как большой, так и малой по сравнению с 1/ао (где а$ — величина порядка атомных размеров). При том же предположении о величине передаваемой энергии имеем qao ~ 1 при $ ^ vq/v. A48.13) Вернемся теперь к исследованию общей формулы A48.9) и рассмотрим случай малых q (qao <C 1, т. е. $ <С vq/v). В этом случае можно разложить экспоненциальные множи- тели по степеням q: е~ЩГа « 1 — iqra = 1 — iqxa (ось х вдоль вектора q). При подстановке этого разложения в A48.9) члены с 1 дают нуль в силу ортогональности волновых функций фо и фп и мы получим dan = 87r(f )%n|4|0)|2 = (|i)|(n|dx|0)|2$, A48.14) где dx = e ^ xa — компонента дипольного момента атома. Мы видим, что сечение рассеяния (при малых q) определяется квад- ратом модуля матричного элемента дипольного момента для пе- рехода, соответствующего изменению состояния атома1). Может, однако, оказаться, что матричный элемент диполь- ного момента для данного перехода тождественно исчезает в силу правил отбора (запрещенный переход). Тогда разложение ехр(—iqra) надо продолжить до следующего члена и мы полу- чим / 2 \ 21 / | \ 12 (У |(|5>)| qdq. A48.15) a Рассмотрим теперь противоположный предельный случай больших q (qao ^1). Большие q означают, что атому передается импульс, большой по сравнению с собственным первоначальным импульсом атомных электронов. Физически заранее очевидно, что в этом случае можно рассматривать атомные электроны как свободные, а столкновение с атомом — как упругое столкновение падающего электрона с первоначально покоившимися атомными электронами. Это видно также и из общей формулы A48.9). При больших q подынтегральное выражение в матричном элементе содержит быстро осциллирующие множители ехр(—iqra) и инте- грал не близок к нулю, только если фп содержит такой же мно- 1) Физический интерес представляет обычно сечение dcrn, просуммирован- ное по всем направлениям момента атома в конечном состоянии и усред- ненное по направлениям момента в начальном состоянии. После такого сум- мирования и усреднения квадрат |(п|с?ж|0)| уже не зависит от направления оси х. 754 НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ. XVIII житель. Такая функция фп соответствует ионизированному ато- му с электроном, вылетевшим из него с импульсом — Hq = р — р', определяющимся просто законом сохранения импульса, как это было бы при столкновении двух свободных электронов. При столкновении с большой передачей импульса оба элек- трона (падающий и атомный) могут в результате приобрести сравнимые по величине скорости. В связи с этим становятся су- щественными не принятые во внимание в общей формуле A48.9) обменные эффекты, связанные с тождественностью сталкиваю- щихся частиц. Сечение рассеяния быстрых электронов с учетом обмена определяется формулой A37.9); эта формула относится к системе координат, в которой один из электронов до столк- новения покоился. Для быстрых электронов косинус в послед- нем члене в A37.9) можно заменить единицей. Умножив также на число Z электронов в атоме, получим сечение столкновения электрона с атомом в виде (—^- + —4 2 г 2 )cos$do. A48.16) sin v cos $ sin $ cos i/ / В этой формуле удобно выразить угол рассеяния через энер- гию, приобретаемую электронами после столкновения. Как из- вестно, при столкновении частицы с энергией Е = mv2/2 с по- коящейся частицей той же массы энергия частиц после столкно- вения равна е = Е sin2 $, Е — е = Е cos2 $. Для того чтобы полу- чить сечение, отнесенное к интервалу cfe, выражаем do через de согласно соотношению cos # do = 2тг cos # sin $ d$ = (тг/E)de. Подстановка в A48.16) приводит к окончательной формуле Если одна из энергий е или Е — е мала по сравнению с другой, то из трех членов в этой формуле существен лишь один (первый или второй). Это соответствует тому, что при большой разнице в энергиях обоих электронов обменный эффект несуществен и мы должны вернуться к обычной формуле Резерфорда1). Интегрирование дифференциального сечения по всем углам (или, что то же, по dq) дает полное сечение ап столкновения с возбуждением данного состояния атома. Зависимость ап от скорости падающего электрона существенно связана с наличием или отсутствием матричного элемента дипольного момента ато- ма для соответствующего перехода. Предположим сначала, что 1) Для столкновения позитрона с атомом обменный эффект вообще отсут- ствует, и формула Резерфорда dcr? = (тгZe4/E) ds/s2 имеет место при всех q > 1/а0. § 148 СТОЛКНОВЕНИЯ БЫСТРЫХ ЭЛЕКТРОНОВ С АТОМАМИ 755 этот элемент отличен от нуля. Тогда при малых q сечение dan определяется формулой A48.14) и мы видим, что с уменьшением q интеграл по dq логарифмически расходится. В области же боль- ших q сечение (при заданной передаче энергии Eh — Eq) экспонен- циально убывает с увеличением q в связи с уже отмечавшимся наличием в подынтегральном выражении матричного элемента в A48.9) быстро осциллирующего множителя. Таким образом, основную роль в интеграле по dq играет область малых д, и мы можем ограничиться интегрированием от минимального значе- ния gmin A48.11) до некоторого значения ^ 1/ао- В результате получим {?) 2(J) A48.18) где /Зп — безразмерная постоянная, которая не может быть вы- числена в общем видех). Если же матричный элемент дипольного момента обращается для данного перехода в нуль, то интеграл по dq быстро сходит- ся как при малых (как это видно из A48.15)), так и при боль- ших q. Основной для интеграла является в этом случае область q ~ 1/ао. Общая количественная формула здесь не может быть получена, и мы приходим к выводу, что ап будет обратно про- порционально квадрату скорости: const ,л АПк л ~ч ап = ——. A48.19) V Это следует непосредственно из общей формулы A48.9), соглас- но которой dan при q ^ 1/ао пропорционально v~2. Определим сечение dar неупругого рассеяния в данный эле- мент телесного угла вне зависимости от того, в какое состоя- ние переходит атом. Для этого надо просуммировать выражение A48.9) по всем п ф 0, т.е. по всем состояниям атома (как дис- кретного, так и непрерывного спектров), за исключением нор- мального. Мы исключим из рассмотрения область как больших, так и совсем малых углов и будем считать, что (vq/vJ <C 'д <С 1. Тогда, согласно A48.12), q не зависит от передаваемой энер- гии2) . г) Мы считаем, что Еп — Eq порядка энергии атомных электронов ео. При больших передачах энергии {Еп — Ео ~ Е > ео) формулы A48.14) A48.18) все равно неприменимы, так как матричный элемент дипольного момента становится очень малым и нельзя ограничиваться первым членом разложе- ния по q. 2) Суммирование в A48.9) происходит и по состояниям с Еп —Eq^> so, для которых A48.12) не имеет места. Однако для переходов с большой переда- чей энергии сечение сравнительно мало, и эти члены играют малую роль в сумме. Условие $ <С 1 позволяет не учитывать обменных эффектов. 756 НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ. XVIII Последнее обстоятельство позволяет легко вычислить полное сечение неупругих столкновений, т. е. сумму 2 \ 2 = /2е пфО а 2x2 0I * = \mv пфО 2^. A48.20) Для этого замечаем, что для всякой величины / имеем по правилу умножения матриц Суммирование производится здесь по всем п, включая п = 0. Поэтому Е l/onl2 = Е l/o-l2 - l/ool2 = (//+)oo - |/оо|2. A48.21) Применив это соотношение к / = ^e~zqr*a, получим где (...) означает усреднение по нормальному состоянию ато- ма (т.е. взятие диагонального матричного элемента 00). Сред- нее значение {(^2е~ЩГа) есть, по определению, атомный фак- тор F(q) атома в нормальном состоянии. В первом же члене в фигурных скобках можно написать а=1 афЬ Таким образом, находим общую формулу афЬ Эта формула сильно упрощается при малых д, когда мож- но произвести разложение по степеням q (vq/v <€i qa^ <^ 1, что соответствует углам {vo/vJ ^C 'д ^С vq/v). Вместо того что- бы производить разложение в формуле A48.23), удобнее заново § 148 СТОЛКНОВЕНИЯ БЫСТРЫХ ЭЛЕКТРОНОВ С АТОМАМИ 757 произвести суммирование по п, воспользовавшись для dan вы- ражением A48.14). Суммируя с помощью соотношения A48.21) с / = dx и помня, что (dx) = 0, получим $¦ A48-24) Интересно сравнить это выражение с сечением A39.5) упругого рассеяния при малых углах; в то время как последнее не зависит от $, сечение неупругого рассеяния в элемент телесного угла do растет с уменьшением $ как 1/$2. При углах vq/v <С $ <С 1 (так что qa$ ^ 1) второй и третий члены в фигурных скобках в A48.23) малы, и мы имеем просто ^, A48.25) т. е. резерфордовское рассеяние на Z атомных электронах (без учета обмена). Напомним, что дифференциальное сечение упру- гого рассеяния A39.6) пропорционально Z2, а не Z. Наконец, интегрируя по углам, мы получим полное сечение аг неупругого рассеяния под всеми углами и со всеми возбужде- ниями атома. В точности таким же образом, как и при вычисле- нии ап A48.18), получим (?)\l(v^) A48.26)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Неупругие столкновения быстрых электронов с атомами» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
