С широкой категорией та- ких состояний мы имеем дело в области ядерных реакций при не слишком больших энергиях, идущих через стадию образования составного ядра1). Наглядная физическая картина происходящих при этом про- цессов заключается в том, что падающая на ядро частица, вза- имодействуя с нуклонами ядра, «сливается» с ним, образуя со- ставную систему, в которой привнесенная частицей энергия рас- пределяется между многими нуклонами. Резонансные энергии соответствуют квазидискретным уровням этой составной систе- мы. Большая (по сравнению с периодами движения нуклонов в ядре) продолжительность жизни квазистационарных состоя- ний связана с тем, что в течение большей части времени энер- гия распределена между многими частицами, так что каждая из них обладает энергией, недостаточной для того, чтобы вылететь из ядра, преодолев притяжение остальных частиц. Лишь срав- нительно редко на одной частице концентрируется достаточно большая для этого энергия. При этом распад составного ядра может произойти различными способами, отвечающими различ- ным возможным каналам реакции2). 1) Представление о составном ядре было выдвинуто Н. Бором A936). ) В число конкурирующих процессов входит также радиационный захват падающей частицы, при котором возбужденное составное ядро переходит в свое основное состояние, испуская 7"квант. Этот процесс тоже «медленен» ввиду сравнительно малой вероятности излучательного перехода. § 145 ФОРМУЛЫ БРЕЙТА И ВИГНЕРА 731 Описанный характер таких столкновений позволяет утвер- ждать, что возможность неупругих процессов в них не сказыва- ется на потенциальной части амплитуды упругого рассеяния, не связанной со свойствами составного ядра (см. § 134); они меняют лишь величину резонансной части амплитуды упругого рассея- ния. По той же причине амплитуды процессов неупругого рассе- яния, происходящих через стадию образования составного ядра, имеют чисто резонансный характер. При этом резонансные зна- менатели всех амплитуд, связанные с обращением в нуль коэф- фициента при сходящейся волне при Е = Eq — гГ/2, сохраняют свой прежний вид [Е — Eo + iT/2), где Г по-прежнему определяет полную вероятность распада (любого) данного квазистационар- ного состояния составного ядра. Эти соображения, вместе с условием унитарности, которому должны удовлетворять амплитуды рассеяния, достаточны для установления их вида. Вычисления удобно производить в симметричном виде, пе- ренумеровав все возможные каналы распада составного ядра и не фиксируя заранее, который из них будет являться для дан- ной реакции входным (индексы, указывающие номер канала, будем обозначать буквами а, 6, с,...). Далее, будем рассмат- ривать парциальные амплитуды рассеяния, отвечающие тому значению /, которым обладает данное квазистационарное состо- яние х). В соответствии со сказанным выше будем искать эти амплитуды в виде f@ _ _J_(e2iSa _ iVy _ 1 ciFg+6h) (индекс / у постоянных 5а и Маъ для упрощения записи опуска- ем). Первый член здесь присутствует лишь при а = Ь] он пред- ставляет собой амплитуду потенциального упругого рассеяния в канале а (постоянные 5а совпадают с фигурирующими в фор- муле A34.12) фазами 5^ ). Второй же член в A45.1) отвечает резонансным процессам. Форма записи коэффициента при резо- нансном множителе в этом члене выбрана так, чтобы упростить результат применения условий унитарности (см. ниже). Поскольку мы рассматриваем рассеяние при заданном зна- чении абсолютной величины орбитального момента, т. е. величи- ны, не меняющей знака при обращении времени, теорема взаим- ности (симметрия по отношению к обращению времени) выра- жается просто симметричностью амплитуд /^ по индексам а, Ъ. 1) Мы будем отвлекаться сначала от усложняющего влияния спинов участ- вующих в процессе частиц. 732 НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ. XVIII Отсюда следует, что должны быть симметричными также и ко- эффициенты Маь (Маь = Мъа)- Условия унитарности для амплитуд /^ гласят: A45.2) (ср. A44.8)). Подставив сюда выражения A45.1), получим после простого вычисления МаЪ МаЪ = Е-Ео- A/2)гГ Е - Ео + A/2)гГ (?7 - ?0J + A/4)Г2 ' Для того чтобы это равенство выполнялось тождественно при произвольной энергии Е, прежде всего должно быть Ма\у = М*ь, (т. е. величины Ма\у вещественны. После этого найдем, что A45.3) т. е. матрица коэффициентов Маь совпадет со своим квадратом. Симметричная вещественная матрица Маъ путем надлежа- щего линейного ортогонального преобразования U может быть приведена к диагональному виду. Обозначив диагональные эле- менты (собственные значения) матрицы через М^а\ напишем это преобразование в виде a,b причем коэффициенты преобразования удовлетворяют соотно- шениям ортогональности racUf3c = 5af3. A45.4) с Обратно Маь = ^2 UaaUabM(a\ A45.5) а Соотношения A45.3) приводят для собственных значе- ний М(а) к условиям М(а) = (М^а)J, откуда следует, что эти значения могут быть равны лишь 0 или 1. Если из всех М^ отлично от нуля лишь одно (пусть М^1) = 1), то из A45.5) имеем МаЪ = UlaUlb, A45.6) § 145 ФОРМУЛЫ БРЕЙТА И ВИГНЕРА 733 т. е. все элементы матрицы Ма\у выражаются через набор величин U\a (а = 1, 2, ...). Если лее отличны от нуля несколько значе- ний М^а\ то элементы Маъ представляются в виде сумм членов, выражающихся через различные наборы C/ia, И^ач- • • величин, связанных друг с другом лишь соотношениями ортогонально- сти, а в остальном независимых. Такой случай соответствовал бы случайному вырождению, когда одному и тому же квазидис- кретному уровню энергии отвечает несколько различных ква- зистационарных состояний составного ядраг). Отбрасывая эти не представляющие интереса случаи, т. е. рассматривая невы- рожденные уровни, мы приходим, следовательно, к выводу, что элементы матрицы Маъ представляют собой произведения ве- личин, каждая из которых зависит от номера лишь одного из каналов. Введя обозначение перепишем формулу A45.6) в виде МаЬ = ±^ГДУГ A45.7) (знак Маъ зависит от знаков U\a и U\b и остается неопределен- ным). В силу равенства ^2 UicU\c = 1 введенные таким образом величины Га удовлетворяют соотношению а = Г. A45.8) Их называют парциальными ширинами различных каналов. Формулы A45.1), A45.7), A45.8) устанавливают искомый общий вид амплитуд рассеяния. Перепишем теперь окончательные формулы, фиксируя один из каналов как входной2). Парциальную ширину этого канала обозначим как Ге {упругая ширина), а ширины, отвечающие раз- личным реакциям, — как ГГ1, ГГ2,... Полная амплитуда упругого рассеяния Ш) = /<»>№ - 2-^ЕЕГ;{1тгГ^"Р.(^), A45.9) г) Это в особенности ясно видно в случае, когда все М^ = 1. Из A45.4), A45.5) следует, что тогда и Маъ = 5аъ, т.е. переходы между различными каналами вообще отсутствуют. Другими словами, этот случай соответство- вал бы нескольким независимым квазидискретным состояниям, каждое из которых осуществляется при упругом рассеянии в одном из каналов. 2) Эти формулы были впервые получены Брейтом и Вигнером (O.Breit, Е. Wigner, 1936). 734 НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ. XVIII где к—волновой вектор падающей частицы, a f^ — амплиту- да потенциального рассеяния. Эта формула отличается от вы- ражения A34.12) заменой Г в числителе резонансного члена на меньшую величину Ге. Амплитуды неупругих процессов имеют, как уже указыва- лось, чисто резонансный характер. Дифференциальные сечения: а интегральные сечения: Суммарное сечение всех возможных неупругих процессов ff <145-12> где Гг = Г — Ге — полная «неупругая ширина» уровня. Представляет также интерес значение сечения реакций, про- интегрированное по области энергий вокруг резонансного зна- чения Е = Eq. Поскольку <jr быстро падает при удалении от резонанса, интегрирование по Е — Ео можно распространить от —ос до ос, и мы получим ardE = B1 + 1)^^. A45.13) При рассеянии медленных нейтронов (длина волны велика по сравнению с размерами ядра) существенно лишь s-рассеяние и амплитуда потенциального рассеяния сводится к вещественной постоянной —а. Вместо A34.14) имеем теперь ?+ц№ <145Л4> Полное сечение упругого рассеяния равно 2 ае = 4тга2 + ^ & + Т ° • A45.15) к2 (Е- ЕоJ + A/4)Г2 V ; Член 4тга2 мож:но назвать сечением потенциального рассея- ния. Мы видим, что в резонансной области имеет место интер- ференция между потенциальным и резонансным рассеяниями. Лишь в непосредственной близости уровня (Е — Eq ~ Г) может оказаться возможным пренебречь амплитудой а (напомним, что |afc| «С 1), и тогда формула для сечения упругого рассеяния мед- ленных нейтронов принимает вид A45.16) § 145 ФОРМУЛЫ БРЕЙТА И ВИГНЕРА 735 Полное сечение как упругого, так и неупругого рассеяний при этом равно В условиях, когда можно пренебречь потенциальным рассея- нием, сечения сге, аГа можно представить в виде Ге Гг Величину at — сумму сечений всех возможных резонансных про- цессов — можно при этом рассматривать как сечение образова- ния составного ядра. Сечения же различных упругого и неупру- гих процессов получаются умножением at на относительные ве- роятности того или иного распада составного ядра, которые да- ются отношениями соответствующих парциальных ширин к пол- ной ширине уровня. Возможность такого представления сечений возникла как следствие факторизации (распадения на множи- тели) коэффициентов Маъ в числителях амплитуд рассеяния. Оно соответствует физической картине процесса столкновения, как происходящего в две стадии: образования составного ядра в определенном квазистационарном состоянии и его распада по тому или иному каналух). Как уже было указано в § 134, область применимости рас- сматриваемых формул ограничивается лишь требованием, что- бы разность \Е — Eq\ была мала по сравнению с расстоянием D между соседними квазидискретными уровнями составного яд- ра (с одинаковыми значениями момента). Там же, однако, было указано, что в таком виде эти формулы не допускают перехода к пределу Е —>• 0, вопрос о котором возникает, если значение Е = 0 находится в резонансной области. В этом случае фор- мулы должны быть видоизменены путем замены энергии Е$ на некоторую связанную с ней постоянную ?о и упругой ширины Ге на jeyE] неупругая же ширина Гг должна по-прежнему рас- сматриваться как постоянная (Н. A. Bethe, G.Placzek, 1937J). г) Мы проводили выше все вычисления, имея в виду реакции вида а-\-Х = = Ъ + Y, в которых из двух первоначальных частиц (ядро + падающая ча- стица) возникают снова две частицы. Это предположение, однако, не имеет фундаментального значения, как ясно из физического характера получен- ных результатов. Формулы вида A45.11) для интегральных сечений спра- ведливы и для реакций с вылетом из ядра более одной частицы. ) Существенно, что для неупругих процессов, возможных при малых энер- гиях (например, радиационного захвата), значение Е = 0 не является поро- говым. Для парциальных ширин ГГа потребовалась бы замена, аналогичная указанной для Ге замены, при энергиях, близких к порогу данной реакции, ниже которого она вообще невозможна. 736 НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ. XVIII В результате этой замены неупругое сечение A45.12) будет воз- растать при Е —>• 0 как l/y/E в согласии с общей теорией неупру- гого рассеяния медленных частиц (см. § 143). Учет спинов сталкивающихся частиц приводит, в общем слу- чае, к довольно громоздким формулам. Мы ограничимся наибо- лее простым, но важным случаем рассеяния медленных нейтро- нов, когда в рассеянии участвуют лишь орбитальные моменты / = 0. Спин составного ядра получается при этом сложением спина г ядра-мишени со спином s = 1/2 нейтрона, т. е. может иметь значения j = г±1/2 (предполагаем, что г ф 0; в противном случае никакого изменения в формулах вообще не происходит). Каждый квазидискретный уровень составного ядра относится к одному определенному значению j. Поэтому сечение реакции получится умножением выражения A45.12) (с I = 0) на вероят- ность g(j) системе ядро + нейтрон иметь нужное значение j — то, для которого имеется резонансный уровень. Будем считать, что спины нейтронов и ядер мишени ори- ентированы беспорядочным образом. Всего имеется Bг + 1) х х B5 + 1) = 2Bг + 1) возможных ориентации пары спинов ins. Из них заданному значению j суммарного момента соответству- ет Bj +1) ориентации. Считая все ориентации равновероятными, найдем, что вероятность данного значения j равна g(j) = 2i + 1 . A45.18) 6U; 2Bг + 1) V J Аналогичным образом должна быть изменена формула для сечения упругого рассеяния. При этом надо учесть, что в потен- циальном рассеянии участвуют оба значения j. Поэтому множи- тель g(j) (с j, соответствующим резонансному уровню) должен быть введен во второй член в A45.15), а член 4тга2 должен быть заменен суммой ^.¦, g(j) • 4тта^2. Тот факт, что резонансные реакции идут через стадию об- разования составного ядра, находящегося в определенном ква- зистационарном состоянии, позволяет высказать некоторые об- щие соображения по поводу угловых распределений продуктов этих реакций. Каждое квазистационарное состояние обладает, наряду с другими своими характеристиками, определенной чет- ностью. Той же четностью будет поэтому обладать и система частиц (Ь + У), образовавшихся при распаде составного ядра. Это значит, что волновая функция этой системы, а тем самым и амплитуды реакций, при инверсии системы координат могут лишь умножаться на ±1; квадраты же амплитуд, т.е. сечения, остаются, следовательно, при этом неизменными. Инверсия ко- ординат означает (в системе центра инерции частиц) замену § 145 ФОРМУЛЫ БРЕЙТА И ВИГНЕРА 737 # —)> тг — #, <р ^ ir + (р для полярного угла и азимута, определяю- щих направление рассеяния. Угловое распределение продуктов реакции должно, следовательно, обладать инвариантностью по отношению к этой замене. В частности, после усреднения по направлениям спинов всех участвующих в реакции частиц, се- чение зависит только от одного угла рассеяния в. Распределение по этому углу должно быть симметричным по отношению к за- мене в —>> тг — #, т.е. угловое распределение (в системе центра инерции) симметрично по отношению к плоскости, перпендику- лярной к направлению сталкивающихся частиц1). Вследствие очень большого числа густо расположенных уровней составного ядра детальный энергетический ход сечений различных процессов рассеяния очень сложен. Эта сложность затрудняет, в частности, обнаружение каких-либо систематиче- ских изменений в свойствах сечений при переходе от одних ядер к другим. В связи с этим имеет смысл рассмотрение хода сечений без деталей резонансной структуры, усредненных по энергетиче- ским интервалам, большим по сравнению с расстояниями между уровнями. При таком рассмотрении мы отказываемся также и от различения между разными типами неупругих процессов, а все рассеяние делим лишь —в указанном ниже смысле —на «упру- гое» и «неупругое»2). Для уяснения смысла производимых усреднений снова отвле- чемся от связанных со спинами усложнений и рассмотрим пар- циальные сечения рассеяния с / = 0. Согласно формулам A42.7) A45.19) сечения упругого и неупругого рассеяний, а с ними и полное сечение выражаются через одну и ту же величину S (индексы @) для краткости опускаем). При усреднении по энергетическому интервалу полное сечение, зависящее от S линейно, выразится через среднее значение S согласно at = ^ * 2A - Re ~S) A45.20) /с (медленно меняющийся множитель к~2 оставляем незатронутым усреднением). В качестве же «упругого» сечения в усредненной ) Для бесспиновых частиц дифференциальное сечение реакции было бы пропорционально просто [P/(cos#)]2 и указанная симметрия очевидна. 2) Излагаемый ниже способ усреднения (для перехода к так называемой оптической модели ядерного рассеяния) предложен Вейсскопфом, Порте- ром и Фешбахом (V. F. Weisskopf, С. Е. Porter, H. Feshbach, 1954). 738 НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ. XVIII картине введем величину a°pt = (тг/&2)|5-1|2, A45.21) не совпадающую, вообще говоря, со средним значением <те. Дру- гими словами, мы определяем упругое рассеяние, произведя предварительное усреднение амплитуды в расходящейся вол- не Selkr /r. При таком определении упругое рассеяние волново- го пакета оставляет неизменной его форму; можно сказать, что сечение A45.21) относится к «когерентной» части рассеяния. Это значит, что из упругого рассеяния исключена та его часть, которая осуществляется через стадию образования составного ядра: при возникновении длительно существующего составного ядра и последующем его распаде специфика падающего волно- вого пакета, естественно, теряется. «Неупругое» же сечение в усредненной модели определяем теперь естественным образом —opt — —opt как разность аа = &t — &е , т. е. Gг/*2)A-|5|2). A45.22) Сюда отнесены, таким образом, не только различные неупругие процессы, но и та часть упругого рассеяния, которая идет с об- разованием промежуточного составного ядра. Легко видеть, что указанное истолкование правильно отра- жает ситуацию, имеющую место в предельных случаях, и потому имеет разумный интерполяционный характер. В той области низких энергий, где мы имеем дело с хорошо разрешенными резонансами (Г < D), вблизи каждого уровня S дается формулой Усредняя это выражение, получим 5 = A - тгГе/?>) ехрBг5@)), A45.23) где Ге и D — средняя (по уровням, содержащимся в данном ин- тервале энергий) упругая ширина и среднее расстояние между уровнями; медленно меняющуюся функцию S^o\E) можно при усреднении считать постоянной. Отсюда находим a°f = {n/k2)BirTe/D), A45.24) где опущены малые члены ~ (T/D)х). Это выражение действи- тельно совпадает со средним значением сечения A45.17), соот- ветствующего, как было указано, образованию составного ядра. х) Такого же порядка были бы и члены, которые возникли бы в результате учета в области вблизи одного уровня влияния других уровней. § 146 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ В КОНЕЧНОМ СОСТОЯНИИ ПРИ РЕАКЦИЯХ 739 По мере увеличения энергии возбуждения составного ядра расстояния между его уровнями уменьшаются, а вероятности распада (тем самым и полные ширины уровней) возрастают, так что уровни начинают перекрываться (самое понятие квазидис- кретных уровней при этом в значительной степени теряет свой смысл). В результате нерегулярности хода функции S(E) сгла- живаются, так что разница между точной и усредненной функ- циями становится малой, и потому сечение A45.22) совпадает с аг из A45.19). Это находится в соответствии с тем, что при вы- соких энергиях распад составного ядра через входной канал не играет никакой роли по сравнению с многочисленными другими возможными при таких энергиях способами распада; поэтому в этой области все процессы, идущие с образованием составного ядра, можно считать неупругими. Таким образом, в усредненной картине рассеяние снова опре- деляется одной величиной E), являющейся теперь плавной функцией энергии. В так называемой оптической модели для вычисления этой функции рассеивающие свойства ядра аппрок- симируются силовым полем с комплексным потенциалом. Нали- чие у потенциала мнимой части приводит к тому, что наряду с упругим рассеянием имеется также и поглощение частиц. Это поглощение, сечение которого дается выражением A45.22), и отождествляется с «неупругим» рассеянием в усредненной кар- тине.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Формулы Брейта и Вигнера» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
