Пусть в результате столкновения двух частиц возникает сно- ва две (те же или другие) частицы. Перенумеруем все возмож- ные (при заданной энергии) каналы реакции и будем отмечать относящиеся к ним величины соответствующими индексами. Пусть канал i является входным. Волновая функция отно- сительного движения сталкивающихся частиц (в системе центра инерции) в этом канале представляет собой уже неоднократно писавшуюся нами сумму падающей плоской волны и упруго рас- сеянной расходящейся волны: fuF) exp(ikir)/r. A44.1) Квадрат амплитуды fa дает сечение упругого рассеяния в кана- Лег' <Ьц = \fa\2do. A44.2) В других каналах (индекс /) волновые функции относитель- ного движения частиц представляют собой расходящиеся волны. По причине, которая выяснится ниже, эти волны удобно пред- ставить в видех) J^^ A44.3) 1) Мы снова (ср. примеч. на с. 187) отмечаем начальное состояние системы индексом г, а конечное—индексом /. В амплитуде рассеяния индекс ко- нечного состояния располагается слева от индекса начального состояния в соответствии с расположением индексов матричных элементов. В таком же порядке будут располагаться, для единообразия, индексы в обозначениях сечений. § 144 МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ ПРИ НАЛИЧИИ РЕАКЦИЙ 727 где kj — волновой вектор относительного движения продуктов реакции (в канале /), в — его угол с осью z, a mi и rrif — приве- денные массы двух начальных и двух конечных частиц. Рассеян- ный поток в телесном угле do получается умножением квадрата |^j|2 на Vfr2do, а сечение соответствующей реакции — делением этого потока на плотность падающего потока, равную vf. of, A44.4) Pi где импульсы pi = m^, Pf = rrifff- В § 125 был введен оператор рассеяния S, переводящий схо- дящуюся волну в расходящуюся. При наличии нескольких ка- налов этот оператор имеет матричные элементы для переходов между различными каналами. «Диагональные» по каналам эле- менты соответствуют упругому рассеянию, а недиагональные — различным неупругим процессам; все эти элементы остаются еще операторами по другим переменным. Они определяются следу- ющим образом. Подобно тому как это было сделано в § 125, введем операторы ffii связанные с амплитудами fa, ffi, определив их форму- Sfi = Sfi + 2i^/Wfffl. A44.5) Легко видеть, что именно при таком определении мы полу- чим ^-матрицу, которая должна будет удовлетворять условию унитарности. Действительно, напишем волновую функцию во входном канале в виде совокупности сходящейся и расходящейся волн, как она была представлена в § 125: = F(-n') **(-»*"•) _ suF(n')^^l (i44.6) (здесь введен, для удобства, лишний множитель vi по срав- нению с выражением A25.3)). Тогда, при принятых нами обо- значениях амплитуд, волновая функция в канале / запишется в виде = SfiF(p!) FV_1 ;. A44.7) Поток в сходящихся волнах должен быть равен сумме пото- ков в расходящихся волнах во всех каналах; это требование вы- ражает собой очевидное условие, что сумма вероятностей всех 728 НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ. XVIII возможных (упругого и неупругих) процессов, которые могут возникнуть при столкновении, должна быть равна единице. Бла- годаря введенным в знаменатели сферических волн множите- лям y/v скорость выпадает из плотностей потоков в них. Поэто- му поставленное условие означает просто требование совпадения нормировок сходящейся и совокупности расходящихся волн. Оно выражается, следовательно, по-прежнему условием унитарности оператора рассеяния, понимаемого как матрица, в частности, и по номерам различных каналов. Для операторов /^ это условие выражается равенством аналогичным A25.7); индекс + означает здесь комплексное со- пряжение и транспонирование по всем остальным (помимо но- мера канала) матричным индексам. ^-матрица диагональна по отношению к состояниям с опре- деленными значениями величины орбитального момента /; соот- ветствующие матричные элементы будем отличать индексом (/). Воздействовав операторами fa и /^ на функцию A25.17), полу- чим амплитуды упругих и неупругих процессов в виде оо Соответствующие интегральные сечения 4?|2. A44.10) Первая из этих формул совпадает с A42.3). Полное же сечение реакций аг (из входного канала г) есть сумма ar = Y^lf Gf% no всем / ф г. В силу унитарности ^-матрицы имеем ^', \Sfi\2 = = 1 — \Su\2, и мы возвращаемся к формуле A42.4) для аг. Симметрия процесса рассеяния по отношению к обращению времени (теорема взаимности) выражается равенством Sfi = Si*f*. A44.11) или, что то же: ffi = fi-f: A44.12) § 144 МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ ПРИ НАЛИЧИИ РЕАКЦИЙ 729 Здесь г* и /* обозначают состояния, отличающиеся от состоя- ний г и / изменением знаков импульсов и проекций спинов ча- стиц1); о них говорят как об обращенных по времени по от- ношению к состояниям г и /. Соотношения A44.11), A44.12) обобщают формулы A25.11), A25.12), относящиеся к упругому рассеянию2). Равенство A44.12) приводит к следующему соотношению для сечений реакции: dafi/pfdof = d<7i*f*/pfdoi*. A44.13) Оно выражает собой принцип детального равновесия. Как было указано в § 126, в случае применимости теории воз- мущений в первом ее приближении, наряду с теоремой взаимно- сти, имеет место также и дополнительное соотношение между амплитудами прямого и обратного (в буквальном смысле слова) процессов: г —>> / и / —>> г. Это свойство, выражающееся равен- ством ffi = /Л, имеет место (в том же приближении) и для неупругих процессов. Сечения при этом связаны равенством dafi/p2fdof = daif/pfdoi. A44.14) Разница между переходами г —>> / и г* —>> /* исчезает, ес- ли рассматривать интегральные сечения, проинтегрированные по всем направлениям р^, просуммированные по направлениям спинов конечных частиц sij, 52/ и усредненные по направлени- ям импульса pi и спинов su, S2i начальных частиц. Обозначим такое сечение через W^: (т8) J сумма берется по проекциям спинов всех частиц; множитель же перед знаком сумм и интегралов связан с тем, что по величинам, относящимся к начальным частицам, производится не суммиро- вание, а усреднение. Написав A44.13) в виде и произведя указанные действия, получим искомое соотношение Vfi=gfP°if', A44.15) ) Для сложных частиц (атом, атомное ядро) под «спином» надо понимать здесь полный собственный момент, составленный как из спинов, так и из орбитальных моментов внутренних движений составных частей. ) Мы отвлекаемся здесь от множителя — 1, который может возникнуть для столкновений частиц, обладающих спином (ср. A40.11)). Это обстоятельство не отражается, конечно, на соотношении A44.13) для сечений. 730 НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ. XVIII через gi и gf здесь обозначены величины gi = Bsu + l)Bs2i + 1), gf = B5i/ + l)Bs2/ + 1), A44.16) определяющие числа возможных ориентации спинов пары на- чальных и пары конечных частиц; эти числа называют стати- стическими весами состояний г и /. Наконец, отметим следующее свойство амплитуд /^- Мы ви- дели в предыдущем параграфе, что сечение реакции меняется при pi —>> 0 по закону <т^ ~ 1/pi (при достаточно быстром убы- вании взаимодействия на больших расстояниях). Согласно фор- муле A44.4) это означает, что ffi —>• const при pi —>• 0. В силу симметрии A44.12) отсюда следует, что ffi стремится к посто- янному пределу также и при pf —>• 0. Мы еще вернемся к этому свойству в § 147.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Матрица рассеяния при наличии реакций» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
