Как и прежде, основную роль при малых энергиях играет рассеяние с / = 0. Напомним, что, согласно полученным в § 132 результатам, соответствующий элемент ^-матрицы был равен So = e2iSo « 1 + 2i50 = 1 - Ика. Использованные в § 132 свойства волновой функции меняются только в том отношении, что налагаемое на нее условие на беско- нечности (асимптотический вид A42.1)) теперь комплексно вме- сто вещественной стоячей волны в случае чисто упругого рас- сеяния. В связи с этим оказывается комплексной и постоянная а = —С2/с\. При этом модуль |$о| уже не равен единице; условие |$о| < 1 означает, что мнимая часть а = а! + га" должна быть отрицательна {а" < 0). Подставив Sq в A42.7), найдем сечения упругого и неупругого рассеяний ае = 4тг|а|2, A43.1) аг = Dтт/к)\а"\. A43.2) Таким образом, сечение упругого рассеяния по-прежнему не зависит от скорости. Сечение же неупругих процессов ока- зывается обратно пропорциональным скорости частиц— так 1) Аналогичным образом может быть рассмотрена задача о дифракцион- ном рассеянии на «черном» ядре быстрых заряженных частиц. При этом граничное значение /о надо определять из условия, чтобы кратчайшее рас- стояние между ядром и частицей, движущейся по классической траекто- рии в кулоновом поле, было как раз равно радиусу ядра. При / < /о надо по-прежнему положить Si = 0, а при / = 0 Si = е2г5г, где 6i —кулоновы фазы из A35.11). См. А. И. Ахиезер, И. ЯПомеранчук. Некоторые вопросы теории ядра. -М.: Гостехиздат, 1950, §22; J. Physics USSR. 1945. V. 9. P. 471. 724 НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ. XVIII называемый закон 1/v (H. A. Bethe, 1935). Следовательно, при уменьшении скорости роль неупругих процессов по сравнению с упругим рассеянием возрастаетг). Предельные законы A43.1) и A43.2) являются, конечно, лишь первыми членами разложения сечений по степеням к. Интерес- но, что следующий член разложения в обоих этих сечениях не содержит никаких новых постоянных, помимо фигурирующих в A43.1), A43.2) величин (Ф. Л. Шапиро, 1958). Это обстоятель- ство является следствием четности функции go(k'2) в выражении A42.13) fo(k) = l/[go(k2) — ik] парциальной амплитуды рассе- яния A = 0). При малых к эта функция разлагается, следова- тельно, по четным степеням fc, так что следующим за go ~ —1/ск будет член ~ к2. Пренебрегая этим членом, мы имеем право на- писать все же в fo(k) два члена разложения fo(k) ~ —аA — гка). Соответственно можно сохранить следующие члены разложения и в сечениях, для которых легко получить следующие выраже- ния: ае = 4тг\а\2A-2к\а"\), A43.3) аг = Dп\а"\/к)A - 2к\а"\). A43.4) Полученные результаты предполагают достаточно быстрое убывание взаимодействия на больших расстояниях. Мы видели в § 132, что амплитуда упругого рассеяния стремится при fc —)> 0 к постоянному пределу, если поле U(г) убывает быстрее, чем г~3. Это условие требуется и для справедливости аналогичного зако- на A43.1) при наличии неупругих каналов2). Закон же 1/v для сечения реакции требует выполнения более слабого условия: поле должно убывать быстрее, чем г~2, что ясно из следующего наглядного обоснования этого закона. Вероятность осуществления реакции при столкновении про- порциональна квадрату модуля волновой функции падающей частицы в «зоне реакции» (в области г ~ а). Физически это утверждение выражает собой тот факт, что, например, сталки- вающийся с ядром медленный нейтрон может вызвать реакцию, лишь «проникнув» в ядро. Если взаимодействие убывает бы- стрее, чем г~2, то на пути от больших г до г ~ а оно не меняет 1) Аналогичным образом молено определить зависимость от скорости пар- циальных сечений реакции для отличных от нуля орбитальных моментов I. Они оказываются пропорциональными а г оэ k2l~1. Сечения же упругого рассеяния сге по-прежнему пропорциональны к , т. е. убывают при к —>> О быстрее, чем <т? , с теми же /. ) Формула же A43.3), учитывающая следующий член разложения по сте- пеням к, требует убывания U более быстрого, чем г~4. § 143 НЕУПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ МЕДЛЕННЫХ ЧАСТИЦ 725 порядка величины волновой функции; другими словами, отно- шение \ф(а)/ф(оо)\2 стремится при к —>> 0 к конечному пределу (это видно из того, что в уравнении Шредингера член \]ф ока- зывается малым по сравнению с Аф). Сечение реакции получит- ся делением \ф\2 на плотность потока. Взяв ф в виде плоской волны, нормированной на единичную плотность потока, имеем \ф\2 ~ 1/v, т.е. искомый результат. При столкновении заряженных ядерных частиц, наряду с ко- роткодействующими ядерными силами, имеется также медленно убывающее кулоново поле. Это поле может существенно изме- нить величину падающей волны в зоне реакции. Сечение реак- ции получится умножением 1/v на отношение квадратов моду- лей кулоновой и свободной волновых функций (при г —>> 0); это отношение дается формулами A36.10), A36.11). Таким образом, получим (в кулоновых единицах) ^n; A43'5) знак плюс в показателе соответствует отталкиванию, а знак минус—притяжению. Коэффициент А есть постоянная зако- на 1/v] если скорость велика по сравнению с кулоновой единицей (к ^> 1), то кулоново взаимодействие не играет роли, и мы воз- вращаемся к закону аг = А/к. Если же скорость мала по сравнению с кулоновой единицей (к <С 1, т.е. в обычных единицах ZiZ2e2/Hv ^ 1, где Zie, ^e — заряды сталкивающихся частиц), то кулоново взаимодействие играет доминирующую роль в определении величины волновой функции в зоне реакции. Для столкновения притягивающихся частиц имеем при этом аг = 2тгА/к2, A43.6) а для столкновения отталкивающихся частиц аг = BтгА/к2)е-2п/к. A43.7) В последнем случае сечение стремится к нулю при к —>> 0. Экс- поненциальный множитель, отличающий A43.7) от A43.6), есть вероятность прохождения через кулонов потенциальный барьер; в обычных единицах он имеет вид ехр(—27rZiZ2e2/Hv). Отметим, что предельный закон A43.6) относится не только к полному, но и к парциальным сечениям с каждым момен- том I1). Это видно из того, что в разложении A36.1) функ- ций ф^. (фигурирующих в использованных нами формулах ) То же самое относится к закону A43.7). 726 НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ. XVIII A36.10), A36.11)) во всех членах суммы функции R^i имеют одинаковую предельную зависимость от к. Действительно, в пре- деле к —>> 0 радиальные функции (в случае притяжения) даются выражениями C6.25) и вблизи центра имеем R^ ^ \fkrl. Вкла- ды отдельных моментов в квадрат волновой функции в зоне реакции ^ а21 /к, т.е. одинаково зависят от /с, хотя и ослабляют- ся малым множителем (а/асJ1 (ас = Н2 /(mZiZ2e2) — кулонова единица длины).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Неупругое рассеяние медленных частиц» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
