До сих пор мы рассматривали лишь столкновения частиц, взаимодействие которых не зависит от их спинов. В этих усло- виях спины либо вообще не влияют на процесс рассеяния, либо оказывают косвенное влияние, связанное с обменными эффекта- ми (§137). Обратимся теперь к обобщению развитой в § 123 общей тео- рии рассеяния на случай, когда взаимодействие частиц суще- ственно зависит от их спинов, как это имеет место при столк- новениях ядерных частиц. Рассмотрим подробно наиболее простой случай, когда одна из сталкивающихся частиц (для определенности будем считать, что это—частица падающего пучка) имеет спин 1/2, а другая (частица-мишень) — спин 0. При заданном (полуцелом) полном моменте системы j орби- тальный момент может иметь лишь два значения / = j ± 1/2, которым соответствуют состояния различной четности. Поэто- му из сохранения j и четности в этом случае следует также и сохранение абсолютной величины орбитального момента. Оператор / (см. § 125) действует теперь не только на орби- тальные, но и на спиновые переменные волновой функции систе- мы. Он должен быть коммутативен с оператором сохраняющейся величины I2. Наиболее общий вид такого оператора /=a+?Ts, A40.1) где а, Ъ — орбитальные операторы, зависящие только от I2. 5-матрица, а с нею и матрица оператора / диагональны по отношению к волновым функциям состояний с определенными значениями сохраняющихся величин / и j (и проекции т полно- го момента), причем диагональные элементы выражаются через фазы 5 волновых функций формулой A23.15). При заданных / и полном моменте j = 1 + 1/2 к j = 1 — 1/2 собственные значения Is равны соответственно 1/2 и — (/ + 1)/2 (см. A18.5)). Поэтому для определения диагональных матричных элементов операторов a и Ъ (обозначим их символами щ и Ъ\) имеем соотношения где фазы 8^ и Sf соответствуют состояниям j = I + 1/2 к j = = 1-1/2. Нас интересуют, однако, не сами по себе диагональные эле- менты оператора / по отношению к состояниям с заданными / § 140 РАССЕЯНИЕ ПРИ СПИН-ОРБИТАЛЬНОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ 703 и j, а амплитуда рассеяния как функция направлений падающей и рассеянной волн. Эта амплитуда будет все еще оператором, но уже только по отношению к спиновым переменным — операто- ром, недиагональным по проекции спина а. Ниже в этом пара- графе мы будем обозначать буквой / именно такой оператор. Для его нахождения надо воздействовать оператором A40.1) на функцию A25.17), соответствующую падающей (вдоль оси z) плоской волне. Таким образом, 8 0). A40.3) /=о Здесь надо еще вычислить результат воздействия оператора Is на функцию Pi [cos в). Это можно сделать, написав Is* = -(/+?_ + Z-3+) + lzSz (см. B9.11)) и воспользовавшись формулами B7.12) для матрич- ных элементов операторов 1±\ еще проще воспользоваться непо- средственно операторными выражениями B6.14), B6.15). Про- стое вычисление дает TsP/ (cos в) = ivsPi (cos в), где Р^ — присоединенный полином Лежандра, а v — единичный вектор в направлении [nn;], перпендикулярном к плоскости рас- сеяния (п —направление падения вдоль оси z, п'— направление рассеяния, определяемое сферическими углами 0, ф). Определив а/, Ь/ из A40.2) и подставив в A40.3), получим теперь окончательно A40.4) оо А = ?ь 1=0 со A40.5) k 1 = 1 Матричные элементы этого оператора дают амплитуду рассе- яния с определенными значениями проекции спина в начальном (<т) и конечном [а1) состояниях. Рассмотрим сечение, просум- мированное по всем возможным значениям а1 и усредненное по вероятностям различных значений а в начальном состоянии (в 704 УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ. XVII падающем пучке частиц). Такое сечение вычисляется как do- = {f+f)aado; A40.6) взятием диагональных матричных элементов от произведения /+/ достигается суммирование по конечным состояниям, а чер- та означает усреднение по начальному состояниюх). Если в на- чальном состоянии все направления спина равновероятны, то это усреднение сводится к взятию следа матрицы (деленного на чи- сло возможных значений проекции спина а) da=±Sp(f+f)do. A40.7) При подстановке A40.4) в A40.6) среднее значение квадрата (vsJ вычисляется как v2s2/3 = s(s + l)/3 = 1/4. В результате получим ™ = \А\2 + \В\2 + 2 Re (AB*)vP, A40.8) do где Р = 2s—начальная поляризация пучка, определенная как отношение среднего спина в начальном состоянии к его наи- большему возможному значению A/2). Напомним, что в случае спина 1/2 вектор s полностью характеризует спиновое состоя- ние (§59). Обратим внимание на то, что поляризация падающего пуч- ка приводит к азимутальной асимметрии рассеяния: благодаря множителю vP в последнем члене сечение A40.8) зависит не только от полярного угла #, но и от азимута <р вектора п' по отношению к п (если только поляризация не перпендикулярна к v, так что vP ф 0). Поляризация рассеянных частиц может быть вычислена по формуле 9Г;+чЛ Так, если начальное состояние не поляризовано (Р = 0), то про- стое вычисление дает , 2Re(AB*) |Л|2 |ВГ' х) Если квадрат модуля |/оп|2 матричного элемента какого-либо оператора для перехода 0 —> п суммируется по конечным состояниям п, то получается п п п Во избежание недоразумений подчеркнем, что знак сопряжения в A40.6) и везде ниже относится к / как спиновому оператору и, в частности, не подразумевает транспонирования п и п'. § 140 РАССЕЯНИЕ ПРИ СПИН-ОРБИТАЛЬНОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ 705 Таким образом, рассеяние приводит, вообще говоря, к появле- нию поляризации, перпендикулярной к плоскости рассеяния. От- метим, однако, что этот эффект отсутствует в борновском при- ближении: если все фазы 5 малы, то в первом приближении по ним коэффициент Л —вещественный, а В — чисто мнимый, так что11е(АВ*) = 0. Тот факт, что поляризация Р7 A40.10) направлена вдоль v, заранее очевиден: Р7 есть аксиальный вектор, a v—единствен- ный аксиальный вектор, который может быть составлен из име- ющихся в нашем распоряжении полярных векторов п и п7. Оче- видно поэтому, что этим свойством будет обладать также и по- ляризация, возникающая при рассеянии неполяризованного пуч- ка частиц со спином 1/2 на неполяризованной мишени из ядер с любым (а не только нулевым) спином1). В формулировке теоремы взаимности для рассеяния при на- личии спинов следует учесть, что обращение времени меняет знаки не только импульсов, но и моментов. Поэтому симметрия рассеяния по отношению к обращению времени должна выра- жаться в этом случае равенством амплитуд процессов, отличаю- щихся друг от друга не только перестановкой начального и ко- нечного состояний и изменением направлений движения на об- ратные, но также и изменением знаков проекций спинов частиц в обоих состояниях. При этом, однако, знаки этих амплитуд могут оказаться различными в связи с тем, что обращение по времени вносит, согласно F0.3), в спиновую волновую функцию множи- тель (—l)s~a. Это обстоятельство приводит к тому, что теорема взаимности должна формулироваться следующим образом2): G2, -)/(_a'l5 _^ _п'; _аъ _а25 _п). A40.11) Здесь /((Ji, сг2, п; а'ъ сг^, n7) — амплитуда рассеяния с изменением проекций спинов сталкивающихся частиц от значений ai, а\ к значениям сг^, сг^; сумма в показателе степени берется по обеим частицам до и после рассеяния. 1) Мы имеем здесь в виду мишень из ядер с полностью беспорядочно рас- пределенными направлениями спинов. Напомним, что при s > 1/2 среднее значение вектора спина не определяет полностью спиновое состояние и его равенство нулю не означает еще полного отсутствия упорядочения спинов. 2) Вывод этого соотношения аналогичен выводу формулы A25.12). При этом в амплитуды сходящихся и расходящихся волн в волновой функции должны быть введены спиновые множители и вместо A25.10) получается условие K~1SK = S, где К — оператор, не только производящий инверсию, но и преобразующий спиновое состояние согласно F0.3). 706 УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ. XVII В борновском приближении рассеяние обладает дополнитель- ной симметрией — оказываются одинаковыми вероятности про- цессов, отличающихся друг от друга перестановкой начального и конечного состояний, без изменения знаков импульсов и про- екций спинов частиц, как при обращении времени (см. §126). Комбинируя это свойство с теоремой взаимности, найдем, что рассеяние симметрично по отношению к изменению знаков всех импульсов и проекций спинов, без их перестановки. Отсюда сле- дует, что в борновском приближении невозможно возникновение поляризации при рассеянии любого неполяризованного пучка на неполяризованной мишени. Действительно, при указанном пре- образовании вектор поляризации Р меняет знак, а единственный вектор [kk7], вдоль которого может быть направлен Р, остает- ся неизменным. Таким образом, свойство, отмеченное выше для рассеяния частиц со спином 1/2 на частицах со спином 0, имеет в действительности общий характер. В случае произвольных спинов сталкивающихся частиц об- щие формулы для угловых распределений весьма громоздки, и мы не станем останавливаться здесь на их выводе. Подсчита- ем лишь число параметров, которыми должны определяться эти распределения. Рассмотренный выше случай столкновения частиц со спина- ми 1/2 и 0 характерен, в частности, тем, что заданным значе- ниям j и четности соответствует всего одно состояние системы двух частиц (отвлекаясь от несущественной ориентации полного момента в пространстве). От каждого такого состояния в ампли- туду рассеяния входит один вещественный параметр (фаза 5). В случае же других спинов существует, вообще говоря, по несколь- ку различных состояний с одинаковыми полным моментом J и четностью; эти состояния различаются значениями полного спи- на частиц S и орбитального момента их относительного движе- ния /. Пусть число таких состояний будет п. Легко видеть, что от каждой такой группы состояний в амплитуду рассеяния входит п(п + 1)/2 независимых вещественных параметров. Действительно, по отношению к этим состояниям ^-матрица представляет собой унитарную симметричную (в силу теоремы взаимности) матрицу с п • п комплексными элементами. Подсчет числа независимых величин в этой матрице удобно произвести, заметив, что если представить оператор S в виде S = exp(ii?), то условие унитарности выполняется автоматически, когда R — произвольный эрмитов оператор (см. A2.13)). Если матрица S симметрична, то симметрична и матрица R и, будучи эрмито- § 140 РАССЕЯНИЕ ПРИ СПИН-ОРБИТАЛЬНОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ 707 вой, она вещественна. Вещественная же симметричная матрица имеет п(п + 1)/2 независимых компонент. Для примера укажем, что для двух частиц со спинами 1/2 число п = 2. Действительно, при заданном J имеется всего че- тыре состояния: два состояния с / = J и полным спином S = 0 или 1 и два состояния с I = J ±1, S = 1. Очевидно, что два из них четны (I четно) и два — нечетны (нечетные /). Общий вид амплитуды рассеяния частиц со спином 1/2, как оператора по спиновым переменным обеих частиц, легко напи- сать, исходя из необходимых условий инвариантности: это дол- жен быть скаляр, инвариантный по отношению к обращению времени. Для составления этого выражения в нашем распоря- жении имеются два аксиальных вектора спинов частиц si и S2 и два обычных (полярных) вектора п и п7. При этом каждый из операторов si и S2 должен входить в амплитуду линейно, по- скольку всякая вообще функция оператора спина 1/2 сводится к линейной. Наиболее общий вид оператора, удовлетворяющего этим условиям, можно представить в виде f = A + B(siX)(s2X) + C(sni)(s2|i) + ?>(siv)(s2v)+ + ?(si + s2,v) + F(si-s2,v). A40.12) Коэффициенты Л, Вг.. — скалярные величины, которые могут зависеть только от скаляра пп', т.е. от угла рассеяния в (и от энергии); A,, |ll, v—три взаимно перпендикулярных единичных вектора, направленных соответственно вдоль n + n7, п — п7 и [пп7]. Операции обращения времени соответствует замена si —>> —si, s2 —>* — S2, n —>> —n7, n7 —>> —n. При этом X ->> -X, \i -» |Ll, V ->> -V и инвариантность оператора A40.12) очевидна. В случае взаимного рассеяния нуклонов (протонов и нейтро- нов) последний член в A40.12) отсутствует. Это следует уже хо- тя бы из того, что действующие между нуклонами ядерные си- лы сохраняют абсолютную величину полного спина системы S, оператор же Si — ?$2 не коммутирует с оператором S2 (осталь- ные члены в операторе A40.12) выражаются, согласно A17.4), через оператор полного спина S и потому коммутируют с S2). При рассеянии одинаковых нуклонов (рр или пп) коэффициен- ты Л, Б,... как функции угла рассеяния удовлетворяют также определенным соотношениям симметрии, являющимся следстви- ем тождественности обеих частиц (см. задачу 2).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Рассеяние при спин-орбитальном взаимодействии» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
