При рассеянии заряженных ядерных частиц (например, про- тонов протонами), наряду с короткодействующими ядерными силами, имеется также и медленно убывающее кулоново вза- имодействие. Теория резонансного рассеяния строится в этом случае тем же методом, который был изложен в § 133. Разница заключается лишь в том, что в качестве волновых функций в области вне радиуса действия ядерных сил (г ^ а) надо пользо- ваться вместо решения уравнения свободного движения A33.2) точным общим решением уравнения Шредингера в кулоновом поле. При этом скорость частиц по-прежнему предполагается малой лишь настолько, что ка ^С 1; соотношение же между 1/к и кулоновой единицей длины ас = H2/(mZiZ2e2) (га— приве- денная масса сталкивающихся частиц) может быть произволь- 1) Излагаемая ниже теория была развита Л. Д. Ландау и Я. А. Смородинс- ким A944). § 138 РЕЗОНАНСНОЕ РАССЕЯНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ 693 При движении с / = 0 в кулоновом поле отталкивания урав- нение Шредингера для радиальной функции \ = ri?o есть = 0 A38.1) (мы пользуемся здесь кулоновыми единицами). В § 36 было най- дено решение этого уравнения, подчиненное требованию конеч- ности х/г ПРИ г — 0- Это решение, которое мы обозначим здесь через Fo, имеет вид (см. C6.27), C6.28)) Fo = AelkrkrF(l- + 1, 2, -2ikr), А2 = -??-. A38.2) Асимптотическое выражение этой функции на больших рассто- яниях есть - i lnBfcr) + ?оУЛ], СЛ = argr(l + 0, A38.3) а первые члены разложения при малых г (fcr < 1, г < 1) F0 = Akr(l +r+ ...). A38.4) Теперь, однако, при изменившемся граничном условии поведе- ние функции в нуле становится несущественным и нам нужно общее решение уравнения A38.1), представляющее собой линей- ную комбинацию двух его независимых интегралов. Параметры вырожденной гипергеометрической функции в A38.2) таковы (целое значение параметра 7 = 2), что мы имеем дело как раз со случаем, упомянутым в конце §d математиче- ских дополнений. В соответствии со сделанными там указани- ями мы получим второй интеграл уравнения A38.1), заменив функцию F в A38.2) какой-либо другой линейной комбинацией двух членов, сумма которых дает, согласно (d.14), вырожден- ную гипергеометрическую функцию. Выбрав в качестве такой комбинации разность этих членов, получим второе независимое решение уравнения A38.1) (обозначим его как Go) в виде1) - i -i, -2ikr) A38.5) (функция же Fo является вещественной частью стоящего здесь выражения). Его асимптотический вид на больших расстояниях Go « cosfkr - - \n2kr + 5^ул\ A38.6) 1) Функции Fo и Go (как и определенные аналогичным образом функции Fi и Gi с / ф 0) называют соответственно регулярной и нерегулярной куло- новыми функциями. 694 УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ. XVII а первые члены разложения при малых г Go = -{I + 2r[In 2r + 2С - 1 + h{k)] + ...}, A38.7) где С = 0,577... —постоянная Эйлера, a h(k) обозначает функ- цию (-^\ +Ык A38.8) (где ip(z) = Г7(z)/Г(z)— логарифмическая производная Г-функ- ции)г). Общий интеграл уравнения A38.1) напишем в виде суммы X = const '(Fo ctg50 + Go), A38.9) где ctg Sq — постоянная. Обозначение этой постоянной выбрано так, что асимптотический вид этого решения будет X со sinlkr - J lnBfer) + ^ + *о] • A38.10) Таким образом, So есть дополнительный сдвиг фазы волновой функции, обусловленный короткодействующими силами. Мы должны связать его с постоянной, фигурирующей в граничном условии (xVx)lr-K) = const, заменяющем собой рассмотрение волновой функции в области действия ядерных сил. Однако, ввиду расходимости (как In г) логарифмической производной Хг/х ПРИ г ~^ 0? это условие должно быть отнесено теперь не к нулю, а к некоторому сколь угодно малому, но все же конечному значению г = р. Вычисляя (с помощью формул A38.4) и A38.7)) производную х'(р)/х(р) и приравнивая ее постоянной, получим граничное условие в виде к A2 ctg So + 2 [In 2p + 2C + h(k)] = const. Выражение в левой части равенства содержит не зависящие от к постоянные 21п2р + 4С; включим их в const, обозначив ее после этого через — н. В результате получим окончательное выражение для ctg^ которое мы выпишем здесь в обычных единицах: = --(е2^Ыс - l)\h(kac) + ^A. A38.11) 1) Разложение A38.7) получается из A38.5) с помощью разложения (d.17). При этом использовано известное соотношение ф{1 + ) ф{) + (которое легко получить из Viz + 1) = zT(z)) и значения ^A) = —С, фB) = = -С + 1. 1138 РЕЗОНАНСНОЕ РАССЕЯНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ 695 В пределе 1/ас —>> 0, т. е. при переходе к незаряженным части- цам, формула A38.11) переходит в соотношение ctg^o = —к/к, совпадающее с A33.6). На рис.49 дан график функции h(xI). Таким образом, при наличии кулонова взаимодействия «постоянной» оказывается следующая величина: 27rctgEo —h(kac) = -ус. A38.12) 1,0 0 8 0,6 0,4 0,2 / / / / / / / Мы поставили слово «постоянная» в ка- вычки, поскольку к представляет собой в действительности первый член разложе- ния по степени малой величины ка некото- рой функции, зависящей от свойств корот- кодействующих сил. Резонансу при малых энергиях соответствует, как было указано в § 133, случай аномально малого значения постоянной к. Ввиду этого для улучшения точности следует учесть также и следующий жения, содержащий коэффициент р чины, т.е. надо заменить в A38.12) — к на2) -х0 + -г0к2. z Наличие резонанса может быть связано, как было указано в § 133, с существованием как истинного, так и виртуального 1 2 3 4 х 5 Рис. 49 к2) член разло- «нормального» порядка вели- г) Для вычисления функции h(k) мож:но пользоваться формулой ~— 1 - С -\- In к, ^ п{п2 + к-2) которую легко получить с помощью формулы (см. Э. Уиттекер и Дою. Ватсон. Курс современного анализа. Т. II, § 12.16. - М.: Физматгиз, 1963). Предельные выражения функции h(k): к2 12 h(k) ж — при к <С 1, h(k) = —С + In к -\—^- при к ^> 1 12 к (последняя формула дает правильные, с погрешностью < 4%, значения h(k) уже при к > 2,5). 2) Укажем значения постоянных а = 1/хо и го для рассеяния протона на протоне: а = —7,8 • 10~13, го = 2,8 • 10~13см (кулонова единица длины 2Н2/тре2 = 57,6 • 10~13 см). Эти значения относятся к паре протонов с анти- параллельными спинами (при параллельных спинах система двух протонов, в силу принципа Паули, вообще не может находиться в s-состоянии). 696 УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ. XVII дискретного связанного состояния системы. Можно показать1), что критерием истинности или виртуальности уровня по-преж- нему является знак постоянной к. Полные фазовые сдвиги волновых функций, согласно A38.10), равны суммам SfyJI + S\. Поэтому сечение рассеяния 2Z + 1)[ехрBг^кул + 2iSl) - l]P,(cos0). A38.13) 1=0 Разность в квадратных скобках представим в виде ехрBг^кул + 2iSi) ~ 1 = [ехрB^кул) - + [ехрBг^кул)(еад - 1)]. A38.14) Кулоновы фазы SfyJI вносят одинаковый по порядку величины вклад в амплитуду рассеяния при всех /. Фазы же ?/, связанные с короткодействующими силами, при / ф 0 малы (при малых энергиях). Поэтому при подстановке A38.14) в A38.13) первую скобку оставляем во всех членах суммы; эти члены суммируются в кулонову амплитуду рассеяния A35.9) 'йlnsin i+ 2г6°УЛ) ¦ A38Л5) Вторую же скобку в A38.14) сохраняем только в члене с / = 0. Таким образом, полная амплитуда рассеяния представится в ви- де № = /кул(#) + ^(е2* - 1) ехрBг50кул). A38.16) Второй член в этом выражении можно назвать амплитудой ядерного рассеяния. Следует, однако, подчеркнуть, что такое разделение условно: ввиду определения So, согласно A38.11), на- личие кулонова взаимодействия существенно сказывается и на этом члене, который оказывается совершенно отличным от того, что было бы при тех же короткодействующих силах для неза- ряженных частиц. В частности, при кас —>> 0 фаза 5q, а с нею и весь второй член в A38.16) стремятся экспоненциально (как ехр(—2тт/кас)) к нулю, т.е. ядерное рассеяние полностью маски- руется кулоновым отталкиванием. х) См. Л. Д. Ландау, Я. А. Смородинский// ЖЭТФ. 1944. Т. 14. С. 269. § 139 УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ БЫСТРЫХ ЭЛЕКТРОНОВ С АТОМАМИ 697 В сечении рассеяния обе части амплитуды интерферируют друг с другом: = \f(GM = (\ do lJ{ П \ 2mv2 ) I sin4(в/2) sin <*о cos (— Ь sin - + So) +4(/cacJsin^l. A38.17) Sill Здесь предполагается, что сталкивающиеся частицы различны; для одинаковых частиц амплитуда рассеяния должна была бы быть перед возведением в квадрат предварительно симметри- зована (ср. § 137).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Резонансное рассеяние заряженных частиц» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
