В предыдущем параграфе мы изучали аналитические свой- ства парциальных амплитуд рассеяния с заданными значения- ми /. Мы видели, что эти свойства осложняются возможностью появления «лишних» особенностей и нерегулярности на беско- нечности. Такими же свойствами обладает, очевидно, и полная амплитуда, рассматриваемая как функция энергии при задан- ных значениях угла рассеяния. Исключение представляет, одна- ко, амплитуда рассеяния на угол нуль. Как мы сейчас покажем, ее аналитические свойства значительно проще. Написав уравнение Шредингера для волновой функции рас- сеиваемой частицы в виде А.ф + к ф = —о~гф 1 A29.1) будем рассматривать его формальным образом как волновое уравнение с правой частью, т. е. как известное из электродина- мики уравнение запаздывающих потенциалов. Решение этого уравнения, описывающее «излучение» в неко- тором направлении к' на больших расстояниях Ro от центра, имеет, как известно, следующий вид (см. II, § 66): § 129 ДИСПЕРСИОННОЕ СООТНОШЕНИЕ 643 В данном случае это выражение представляет собой волновую функцию рассеянной частицы и коэффициент при elkR° /R$ есть амплитуда рассеяния fF,E). В частности, положив к' = к (к — волновой вектор падающей частицы), получим амплитуду рас- сеяния на угол 0: f ikz dV A29.3) (ось z направлена вдоль к). Это выражение имеет, конечно, лишь формальный смысл, поскольку в подынтегральное выра- жение снова входит неизвестная волновая функция. Оно позво- ляет, однако, сделать определенные заключения об аналитиче- ских свойствах величины /@,i?) как функции энергии Е1). Функция ф под знаком интеграла состоит при больших г из двух частей—падающей и расходящейся волн. Последняя про- порциональна егкг, так что соответствующая часть интеграла со- держит в подынтегральном выражении elKr-z) m Q другой сторо- ны, при переходе в комплексную плоскость (с верхнего края раз- реза вдоль правой полуоси) гк заменяется на —л/—2тЕ/Н, при- чем на всем физическом листе Re \J—Е > 0. Поскольку г ^ ?, то Re [ik(r — z)] < 0 и интеграл сходится при любом комплекс- ном Е. Что касается падающей волны в ф, пропорциональ- ной elkz, то в соответствующей части интеграла экспоненци- альные множители вообще сокращаются, так что и эта часть сходится. Функция ф в интеграле A29.3) однозначно определена при любом комплексном Е как решение уравнения Шредингера, со- держащее, помимо плоской волны, лишь затухающую (при г —>> —>• ос) часть. Поэтому однозначно определен и весь сходящий- ся интеграл A29.2), так что его особенности могут возникать только в результате обращения ф в бесконечность. Последнее имеет место в дискретных уровнях энергии2). г) Подразумевается, конечно, что поле U® убывает при г —>> оо достаточно быстро для того, чтобы /@, Е) (при Е > 0) вообще существовало (см. § 124). 2)Во избежание недоразумений подчеркнем, что здесь речь идет о пол- ной волновой функции системы ф, нормированной условием равенства еди- нице коэффициента при плоской волне в ее асимптотическом выражении (ср. A23.3)). В предыдущем же параграфе рассматривались части {ijji) вол- новой функции, отвечающие определенным значениям /, причем ijji предпо- лагались нормированными каким-либо произвольным условием. Если раз- ложить полную функцию ф по функциям ф1, то последние войдут в ф с коэффициентами, пропорциональными !/?>/; так, функция A28.3) с / = 0 644 УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ. XVII Легко видеть также, что /@, ?7) остается конечной при \Е\ —>> ос. При больших \Е\ в уравнении Шредингера A29.1) можно пренебречь членом с С/, так что в ф остается лишь плос- кая волна: ф ~ е . В результате интеграл A29.2) переходит в /@,ос) = - что совпадает, как и следовало, с борновской амплитудой A26.4) рассеяния на угол 0 (q = 0); обозначим ее через /в@). Таким образом, мы приходим к выводу, что амплитуда рас- сеяния на угол 0 регулярна на всем физическом листе (в том числе на бесконечности), за исключением лишь обязательных полюсов на левой вещественной полуоси в дискретных уровнях энергииг). Рассмотрим интеграл \Ё, A29.4) с взятый по изображенному на рис. 46 контуру, состоящему из бес- конечно удаленной окружности и обхода вокруг разреза вдоль правой полуоси. Интеграл по окружности обращается в нуль, посколь- ку /@, ос) — /б = 0. Интегрирование же по обеим сторонам разреза дает °° щ^ Е1 -Е ' 0 здесь учтено, что по принятому в § 128 определению физическая амплитуда рас- ис' сеяния для вещественных положительных значений Е задается на верхней стороне разреза, а на нижней стороне имеет комплексно сопряженное значение. С другой стороны, согласно теореме Коши интеграл A29.4) равен сумме f@,E) — /# и вычетов Rn подынтегрального вы- ражения во всех полюсах Е' = Еп функции f@,Ef)/(Ef — Е), должна войти в ф в виде const 1 и . ikr . 1 \{А-\-В)е — 2гВ smkrl. г В Поэтому ф обращается в бесконечность в нулях функций Bi(E), т.е. в дис- кретных уровнях энергии. х)Идея изложенного доказательства принадлежит Л. Д. Фаддееву A958). § 130 АМПЛИТУДА РАССЕЯНИЯ В ИМПУЛЬСНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ 645 где Еп— дискретные уровни анергии; эти вычеты определяются с помощью формулы A28.17) и равны Rn = ^~^' dn = -(-l)l"Bln + l)^ A29.5) (ln — момент состояния с энергией Еп) Таким образом, получаем о Это так называемое дисперсионное соотношение определяет /@,?7) в любой точке физического листа по значениям ее мни- мой части при Е > 0 (D. Wong, 1957; N. N. Khuri, 1957). Когда точка Е устремляется к верхней стороне разреза, ин- теграл вдоль вещественной оси в A29.6) должен быть взят, об- ходя полюс Е1 = Е снизу; если произвести этот обход по бес- конечно малой полуокружности (рис.47), то соответствующая о w Рис. 47 часть интеграла даст в правой части уравнения A29.6) вели- чину iIm/@,i?), а остающийся интеграл от 0 до ос должен пониматься в смысле главного значения. В результате получим формулу оо Re /@, E) = fB + ± Г 1™тР dE' + V -Д-, A29.7) о определяющую при Е > 0 вещественную часть амплитуды рас- сеяния на угол 0 через ее мнимую часть. Напомним, что послед- няя, согласно A25.9), непосредственно связана с полным сечени- ем рассеяния.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Дисперсионное соотношение» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
