Выведем квантовомеханическое выражение для плотности тока при движении заряженной частицы в магнитном поле. Будем исходить из формулых) 5Н = -- f }6AdV, A15.1) определяющей изменение функции Гамильтона распределенных в пространстве зарядов при варьировании векторного потенци- ала2). В квантовой механике ее надо применять к среднему значению гамильтониана заряженной частицы: лл- (и5-2) Произведя варьирование и имея в виду, что SH = rot 5А, находим SH= /ф*[—— (р8А + 8Ар) + -^А5А\ 4>dV- J [ 2тск J тс2 \ -^ frotSA-^s^dV. A15.3) Член с рбА преобразуем, интегрируя по частям: Г Ф*р5АФ dV = -iH Г Ф*У(?АФ) dV = гП Г ?АФУФ* dV (интеграл по бесконечно удаленной поверхности, как обычно, ис- чезает). Интегрирование по частям производим также и в по- следнем члене в A15.3), воспользовавшись известной формулой векторного анализа a rot b = — div[ab] + b rot a. 1) В этом параграфе j будет обозначать плотность электрического тока: плотность потока частиц, умноженную на их заряд е. 2) Функция Лагранжа для заряда в магнитном поле содержит член (e/c)vA или, представляя заряд распределенным по пространству, A/с) J jA dV. Изменение функции Лагранжа при варьировании А, следо- вательно, равно SL=- []6AdV. Бесконечно же малое изменение функции Гамильтона равно взятому с об- ратным знаком изменению функции Лагранжа (см. I, §40). § 115 ПЛОТНОСТЬ ТОКА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 571 Интеграл от члена с div исчезает, так что остается [qr*sVTot6AdV= f В результате окончательно получаем ЙЯ = -^ /^А(ФУФ*-Ф*У + ^ [ A5A№*dV-^ / тс2 J s J Сравнив с A15.1), находим следующее выражение для плот- ности тока: j = !^[(уф*)Ф - Ф*УФ] - — АФ*Ф + ^crot(**s*). A15.4) 2га тс s Подчеркнем, что хотя это выражение и содержит в явном виде секторный потенциал, оно, как и следовало, вполне однозначно. В этом легко убедиться прямым вычислением, заметив, что одно- временно с калибровочным преобразованием векторного потен- циала, согласно A11.8), надо произвести также и преобразование волновой функции согласно A11.9). Легко проверить также, что ток A15.4) вместе с плотностью зарядов р = е|Ф|2 удовлетворяет, как и следовало, уравнению непрерывности Последний член в A15.4) дает вклад в плотность тока, проис- ходящий от магнитного момента частицы. Он имеет вид crotm, где m = ^Ф*?Ф = Ф*/2Ф A15.5) есть пространственная плотность магнитного момента. Выражение A15.4) представляет собой среднее значение плотности тока. Его можно рассматривать как диагональный матричный элемент некоторого оператора— оператора плот- ности тока j. Этот оператор проще всего записать в предста- влении вторичного квантования, что сводится к замене Ф и Ф* операторами Ф и Ф+ (причем, согласно общему правилу, Ф+ должен стоять в каждом члене слева от Ф). Можно определить и недиагональные матричные элементы этого оператора: Зпт = ^[(УФ;)Фт - Ф^УФт] - — A15.6)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Плотность тока в магнитном поле» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
