Частица со спином обладает также и определенным «соб- ственным» магнитным моментом jll. Соответствующий ему квантовомеханический оператор пропорционален оператору спина 1з, т. е. может быть записан в виде ?=^s, A11.1) S где s — величина спина частицы, а \± — характерная для части- цы постоянная. Собственные значения проекции магнитного мо- мента равны \iz = /кг/s. Отсюда видно, что коэффициент /i (который и называют обычно просто величиной магнитного мо- мента) представляет собой наибольшее возможное значение /iz, достигаемое при проекции спина а = s. Отношение /i/Hs дает отношение собственного магнитного момента частицы к ее собственному механическому моменту (когда оба направлены по оси z). Как известно, для обыч- ного (орбитального) момента это отношение равно е/Bтс) (см. II, §44). Коэффициент же пропорциональности между соб- ственным магнитным моментом и спином частицы оказывает- ся иным. Для электрона он равен— |е|/тс, т.е. вдвое больше обычного значения (такое значение получается теоретически из релятивистского волнового уравнения Дирака—см. IV, §33). Собственный магнитный момент электрона (спин 1/2) равен, следовательно, —/i# т = М1 = о,927-100^. A11.2) 2тс Гс Эту величину называют магнетоном Бора. Магнитный момент тяжелых частиц принято измерять в ядерных магнетонах, определяемых как еН/Bтрс), где тр — масса протона. Эксперимент дает для собственного магнитно- го момента протона значение 2,79 ядерных магнетонов, при- чем момент направлен по спину. Магнитный момент нейтрона направлен противоположно спину и равен 1,91 ядерного магне- тона. § 111 УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 551 Обратим внимание на то, что величины [ins, стоящие в обо- их частях равенства A11.1), как и следовало, одинаковы по сво- ему векторному характеру: обе являются аксиальными вектора- ми. Аналогичное же равенство для электрического дипольного момента d (d = const -s) противоречило бы симметрии по отно- шению к инверсии координат: при инверсии менялся бы относи- тельный знак обеих частей равенстваг). В нерелятивистской квантовой механике магнитное поле мо- жет рассматриваться только в качестве внешнего поля. Магнит- ное взаимодействие частиц друг с другом является релятивист- ским эффектом, и его учет требует последовательной реляти- вистской теории. В классической теории функция Гамильтона заряженной ча- стицы в электромагнитном поле имеет вид _ 1 2т где (р — скалярный, А — векторный потенциал поля, ар — обоб- щенный импульс частицы (см. II, § 16). Если частица не обладает спином, то переход к квантовой механике производится обыч- ным образом: обобщенный импульс надо заменить оператором р = —iW, и мы получим гамильтониан2) (рА) +еср. A11.3) 2т \ с / Если же частица обладает спином, то такая операция недо- статочна. Дело в том, что собственный магнитный момент ча- стицы непосредственно взаимодействует с магнитным полем. В классической функции Гамильтона это взаимодействие вообще отсутствует, поскольку сам спин, будучи чисто квантовым эф- фектом, исчезает при переходе к классическому пределу. Пра- вильное выражение для гамильтониана получится путем вве- дения (в 111.3) дополнительного члена — ДН, соответствующе- го энергии магнитного момента jll в поле Н. Таким образом, г) Отметим, что это равенство (а тем самым и существование электриче- ского момента у элементарной частицы) противоречило бы также и сим- метрии по отношению к обращению времени: изменение знака времени не меняет d, но меняет знак спина (как это очевидно, например, из определе- ния этих величин при орбитальном движении: в определение d входят лишь координаты, а в определение момента—также и скорость частицы). 2) Мы обозначаем здесь обобщенный импульс той же буквой р, что и обыч- ный импульс (вместо Р в II, §16), с целью подчеркнуть, что ему отвечает тот же оператор. 552 ДВИЖЕНИЕ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ ГЛ. XV гамильтониан частицы, обладающей спином, имеет вид1) е<р. A11.4) При раскрытии квадрата (р — (е/с)АJ надо иметь в виду, что оператор р, вообще говоря, не коммутативен с вектором А, яв- ляющимся функцией координат. Поэтому надо писать Н = -^р2 - -^-(рА + Ар) + -^А2 - ^ Ш + еч>. A11.5) 2га 2тс 2тс s Согласно правилу коммутации A6.4) оператора импульса с лю- бой функцией координат имеем рА - Ар = -iHdivA. A11.6) Таким образом, р и А коммутативны, если div A = 0. Это, в частности, имеет место для однородного поля, если выбрать его векторный потенциал в виде А = A/2)[Нг]. A11.7) Уравнение гЯ<9Ф/dt = Н"Ф с гамильтонианом A11.4) пред- ставляет собой обобщение уравнения Шредингера на случай на- личия магнитного поля. Волновые функции, на которые дей- ствует гамильтониан в этом уравнении, — симметричные спино- ры ранга 2s. Волновые функции частицы в электромагнитном поле обла- дают неоднозначностью, связанной с неоднозначностью потен- циалов поля. Как известно (см. II, §18), последние определены лишь с точностью до калибровочного преобразования A^A + V/, p-^-i^, (ш.8) где /— произвольная функция координат и времени. Такое пре- образование не отражается на значениях напряженностей поля. Ясно поэтому, что оно не должно существенно изменять также и решений волнового уравнения; в частности, должен оставать- ся неизменным квадрат |Ф|2. Действительно легко убедиться в том, что мы вернемся к исходному уравнению, если одновремен- но с заменойA11.8) в гамильтониане произвести также и замену волновой функции согласно Ф->Фехр(—Д A11.9) 1) Обозначение магнитного поля и гамильтониана одинаковой буквой не может привести к недоразумениям: гамильтониан снабжен шляпкой над буквой. § 112 УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 553 Эта неоднозначность волновой функции не сказывается ни на какой имеющей физический смысл величине (в определение ко- торой не входят в явном виде потенциалы). В классической механике обобщенный импульс частицы свя- зан с ее скоростью соотношением mv = р — еА/с. Для того чтобы найти оператор v в квантовой механике, надо проком- мутировать вектор г с гамильтонианом. Простое вычисление приводит к результату mv = p- -А, A11.10) с в точности аналогичному классическому. Для операторов ком- понент скорости имеют место правила коммутации -» . б/Т/ у-тг Г ~» . 6/7/ тгу- vx, vy\ = 2^-#z, \Vy, vz} = г^-Яж, m mC {vz,vx} = г—j-Ну, т с которые легко проверить непосредственным вычислением. Мы видим, что в магнитном поле операторы трех компонент скоро- сти частицы (заряженной) оказываются некоммутативными. Это значит, что частица не может иметь одновременно определенных значений скорости по всем трем направлениям. При движении в магнитном поле симметрия по отношению к обращению времени имеет место лишь при условии измене- ния знака поля Н (и векторного потенциала А). Это значит (см. § 18 и 60), что уравнение Шредингера Нф = Еф должно сохранить свой вид при переходе к комплексно сопряженным величинам и изменении знака Н. Для всех членов в гамильто- ниане A11.4), за исключением члена — 1зН, это непосредственно очевидно. Член же — "sH^ в уравнении Шредингера переходит при указанном преобразовании в s^H^*, и на первый взгляд нарушает требуемую инвариантность, поскольку оператор 1з* не совпадает с —s. Следует, однако, учесть, что волновая функция есть в дей- ствительности контрвариантный спинор фх^'~, который при ком- плексном сопряжении переходит в ковариантный ф^'"* (см. §60). Контрвариантным же является спинор фХ Нахо- дя с помощью определений E7.4), E7.5) компоненты (^Н^)* и выражая их через ф^ , убеждаемся в том, что операция обра- щения времени приводит к уравнению Шредингера для компо- нент ф\п того же вида, который имело исходное уравнение для компонент ф ^'".
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Уравнение Шредингера в магнитном поле» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
