Состояниям системы с полуцелым спином (а потому и полу- целым полным моментом) соответствуют двузначные представ- ления точечной группы симметрии этой системы. Это является общим свойством спиноров и потому справедливо как для непре- рывных, так и для конечных точечных групп. В связи с этим возникает необходимость в отыскании двузначных неприводи- мых представлений конечных точечных групп. Как уже отмечалось, двузначные представления по суще- ству вообще не являются истинными представлениями группы. К ним не относятся, в частности, соотношения, о которых шла речь в § 94, и когда в этих соотношениях (например, в соотноше- нии (94.17) для суммы квадратов размерностей неприводимых представлений) речь шла о всех неприводимых представлениях, то в их числе подразумевались только истинные, однозначные представления. Для отыскания двузначных представлений удобно приме- нять следующий искусственный прием (Н. A. Bethe, 1929). Вве- дем чисто формальным образом понятие о новом элементе груп- пы (обозначим его через Q) — повороте на угол 2тг вокруг про- извольной оси—как об элементе, отличном от единичного, но совпадающем с Е при своем двукратном применении: Q2 = Е. В соответствии с этим повороты Сп вокруг осей симметрии п- го порядка будут давать тождественные преобразования лишь после 2п-кратного (а не n-кратного) своего применения: C% = Q, Cln = E. (99.1) Инверсия I как элемент, коммутативный со всяким пово- ротом, должна при двукратном применении по-прежнему да- вать Е. Но двукратное отражение в плоскости будет равно Q, а не Е: а2 = Q, <т4 = Е (99.2) (это следует из того, что отражение может быть написано в ви- де а = 1С2). В результате мы получим совокупность элементов, составляющих некоторую фиктивную точечную группу симмет- рии, порядок которой вдвое больше порядка исходной группы; об этих группах мы будем говорить как о двойных точечных группах. Двузначные представления действительной точечной группы будут, очевидно, однозначными, т. е. истинными пред- ставлениями соответствующей двойной группы, так что для их отыскания можно применить обычные приемы. § 99 ДВУЗНАЧНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ТОЧЕЧНЫХ ГРУПП 477 Число классов в двойной группе больше, чем в исходной груп- пе (но, вообще говоря, не вдвое). Элемент Q коммутативен со всеми другими элементами группы1) и потому всегда состав- ляет сам по себе класс. Если ось симметрии двусторонняя, то в двойной группе это означает сопряженность элементов С% и С^п~к = QC™~k • В связи с этим при наличии осей второго по- рядка распределение элементов по классам зависит также и от того, являются ли эти оси двусторонними (в обычных точечных группах это несущественно, так как С2 совпадает с обратным поворотом С^1)- Так, в группе Т оси второго порядка эквивалентны, и каж- дая из них двусторонняя, а оси третьего порядка эквивалентны, но не являются двусторонними. Поэтому 24 элемента двойной группы Т/2) распределяются по 7 классам: Е, Q, класс из трех поворотов С*2 и трех C2Q, классы 4Сз, 4С|, 4Сз<3, 4C|Q. В число всех неприводимых представлений двойной точеч- ной группы входят, во-первых, представления, совпадающие с однозначными представлениями простой группы (причем эле- менту Q, как и Е, соответствует единичная матрица), и, во- вторых, двузначные представления простой группы, причем элементу Q соответствует отрицательная единичная матрица; нас интересуют сейчас именно эти последние представления. Двойные группы С'п (п = 1, 2, 3, 4, 6) и S±, как и соответ- ствующие им простые группы, являются циклическими группа- ми3) . Все их неприводимые представления одномерны и могут быть найдены без всякого труда, как это было объяснено в § 95. Неприводимые представления групп D'n (или изоморфных им C'nv) можно найти тем же способом, как и для соответ- ствующих простых групп. Эти представления осуществляются функциями вида е ^, где ср—угол поворота вокруг оси п-го порядка, а для к берутся полуцелые значения (целые значения соответствуют обычным однозначным представлениям). Пово- роты вокруг горизонтальных осей второго порядка переводят эти функции друг в друга, а поворот Сп умножает на е±27гг*7п. Несколько труднее нахождение представлений двойных ку- бических групп. 24 элемента группы Т' распределяются по семи х)Для поворотов в инверсии это очевидно; для отражения в плоскости это следует из того, что отражение можно представить в виде произведения инверсии и поворота. 2) Двойные группы мы будем отличать штрихом у символа обычной груп- пы. 3) Группы же S'2 = С\, Sq = Сзг, содержащие инверсию /, являются абе- левыми группами, но не циклическими. 478 ТЕОРИЯ СИММЕТРИИ ГЛ. XII классам. Поэтому имеется всего семь неприводимых представ- лений, из которых четыре совпадают с представлениями про- стой группы Т. Сумма квадратов размерностей остальных трех представлений должна быть равна 12, откуда находим, что все они двумерны. Поскольку элементы С2 и C2Q находятся в од- ном классе, то х(^2) = xi^Q) = — ^(^2), откуда следует, что во всех трех представлениях х{@2) — О- Далее, из трех представ- лений по крайней мере одно должно быть вещественным, так как комплексные представления могут встречаться лишь вза- имно сопряженными парами. Рассмотрим это представление и предположим, что матрица элемента С% приведена к диагональ- ному виду (пусть а\, a<i — ее диагональные элементы). Посколь- ку С\ = Q, то а\ = п2 = — 1. Для того чтобы х(Сз) = а± + п2 было вещественным, надо взять а\ = е7™/3, аз = е™/3. Отсюда находим, что х(Сз) = 1, х(С|) = а\ + 0% = — 1. Таким образом, одно из искомых представлений найдено. Составляя его прямые произведения с двумя комплексно сопряженными одномерными представлениями группы Т, найдем два остальных представле- ния. Аналогичными рассуждениями, которые мы не станем при- водить здесь, можно найти представления группы О1. В сводной табл. 8 даны характеры представлений перечисленных двойных групп (приведены лишь представления, соответствующие дву- значным представлениям обычных групп). Те же представления имеют изоморфные с ними двойные группы. Остальные точечные группы либо изоморфны с рассмотрен- ными, либо получаются в результате прямого умножения по- следних на группу С^, так что их представления не нуждаются в особом вычислении. По тем же причинам, что и для обычных представлений, два комплексно сопряженных двузначных представления должны рассматриваться как одно физически неприводимое представ- ление с удвоенной размерностью. Одномерные же двузначные представления надо удваивать даже, если их характеры веще- ственны. Дело в том (см. § 60), что у систем с полуцелым спином комплексно сопряженные волновые функции линейно независи- мы. Поэтому, если мы имеем двузначное одномерное представ- ление с вещественными характерамих) (осуществляемое некото- рой функцией /0), то хотя комплексно сопряженная функция ф* преобразуется по эквивалентному представлению, можно все же утверждать, что ф и ^* линейно независимы. Поскольку, 1) Такие представления есть у групп С'п с нечетными щ характеры в них равны Х(С*) = {-1)к. $99 ДВУЗНАЧНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ТОЧЕЧНЫХ ГРУПП 479 Таблица 8 Двузначные представления точечных групп л. Е' ч Е'2 *. Е[ Е2 Е'з * Е[ Е2 Г Е1 с'1 \ О' Е[ Е'2 С Е 2 Е 1 1 2 Е 2 2 2 Е 2 2 Е 2 2 2 2 2 4 -2 -1 -1 -2 -2 -2 -2 -2 -2 Q -2 -2 -2 -2 -2 -4 С 0 0 0 2 с2 C2Q 0 0 1 ? ?2 Z\q\ 1 1 -1 -1 -?2 —? IC3Q -1 -1 1 0 ClQ -1 -1 1 ClQ 1 1 -2 So -л/2 4CSC -1 -?2 3C|Q 0 0 0 °Iq -1 -1 2 c!q -\/2 4C32Q 1 ?2 ЗС4 \/2 0 C{2V)Q ( a \/3 -у/Ъ 0 2C/2Q 0 0 3C2Q 0 0 0 3C4Q -V2 \/2 0 3 2 i iQ 1 1 -1 C6Q -y/3 V3 0 0 0 So 0 0 0 c 3U2 i —i 0 W2Q 0 0 0 iz)Q iz)Q 0 3t/2Q —i i 0 ? 3^Q 0 0 0 480 ТЕОРИЯ СИММЕТРИИ ГЛ. XII с другой стороны, комплексно сопряженные волновые функции должны принадлежать одному и тому же уровню энергии, то мы видим, что в физических применениях такое представление должно быть удвоено. Все сказанное в § 97 о способе нахождения правил отбора для матричных элементов различных физических величин / остает- ся в силе и для состояний системы с полу целым спином, с из- менением лишь для диагональных (по энергии) матричных эле- ментов. Повторив изложенные в конце § 97 рассуждения с учетом на этот раз формул F0.2), F0.3), найдем, что если величина / четна или нечетна по отношению к обращению времени, то для отыскания правил отбора надо рассматривать соответственно антисимметричное {?На) } или симметричное [D^ ] произведе- ние представления 1)(а) самого на себя —обратно по сравнению со сформулированным в § 97 правилом, справедливым для си- стем с целым спиномг).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Двузначные представления конечных точечных групп» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
