Помимо конечных точечных групп, перечисленных в § 93, су- ществуют непрерывные точечные группы с бесконечным числом элементов. Это —группы аксиальной и сферической симметрии. Простейшей из групп аксиальной симметрии является груп- па Соо, содержащая повороты С(ф) на произвольный угол (р вокруг оси симметрии (ее называют двумерной группой враще- ний). Эту группу молено рассматривать как предельный случай групп Сп при п —>> ос. Аналогично, в качестве предельных слу- чаев групп Cnh, Cnv, Dn, Dnh получаются непрерывные группы Молекула обладает аксиальной симметрией только в том случае, если она состоит из атомов, расположенных по одной прямой. Если она при этом несимметрична относительно своей середины, то ее точечной группой будет группа Cqo^, содержа- щая, помимо поворотов вокруг оси, также и отражения av в любой плоскости, проходящей через ось. Если же молекула сим- метрична относительно своей середины, то ее точечной груп- пой будет группа D^k = CooV x С{. Что же касается групп Соо, Coo/i, -Doo, т° °ни вообще не могут осуществляться в качестве групп симметрии молекулы. Группа полной сферической симметрии содержит поворо- ты на произвольный угол вокруг любой оси, проходящей через центр, и отражения в любой плоскости, проходящей через ту же точку; эта группа (которую обозначим через К^) является группой симметрии отдельного атома. Она содержит в каче- стве подгруппы группу К всех пространственных поворотов (ее называют трехмерной группой вращений, или просто груп- пой вращении). Группа К^ может быть получена из группы К добавлением центра симметрии (К^ = К х С г). Элементы непрерывной точечной группы можно различать одним или несколькими параметрами, пробегающими непре- рывный ряд значений. Так, в группе вращений параметрами могут быть три угла Эйлера, определяющие поворот системы координат. Описанные в § 92 общие свойства конечных групп и относя- щиеся к ним понятия (как-то: понятия подгруппы, сопряженных элементов, классов и т.п.) непосредственно обобщаются на не- прерывные группы. Теряют, разумеется, смысл те утверждения, которые непосредственно связаны с порядком группы (напри- мер, утверждение о том, что порядок подгруппы есть делитель порядка группы). В группе Cqov все плоскости симметрии эквивалентны, так что все отражения av составляют один класс с непрерывным 472 ТЕОРИЯ СИММЕТРИИ ГЛ. XII рядом элементов; ось симметрии двусторонняя, так что имеется непрерывный ряд классов, содержащих каждый по два элемен- та С(±ср). Классы группы Dqo/i получаются непосредственно из классов группы Cqo^, так как Dooh — Соси х CV В группе вращений К все оси эквивалентны и двусторонни; поэтому классами этой группы являются повороты на задан- ный по абсолютной величине \(р\ угол вокруг любой оси. Классы группы Kh получаются непосредственно из классов группы К. Понятие представлений— приводимых и неприводимых — тоже непосредственно обобщается на случай непрерывных групп. Каждое неприводимое представление содержит непре- рывный ряд матриц, но число преобразующихся друг через друга функций базиса (размерность представления) конечно. Эти функции могут быть всегда выбраны таким образом, что- бы представление было унитарным. Число различных непри- водимых представлений непрерывной группы бесконечно, но они составляют дискретный ряд, т. е. могут быть перенумеро- ваны последовательными номерами. Для матричных элемен- тов и характеров этих представлений имеют место соотношения ортогональности, обобщающие аналогичные соотношения для конечных групп. Вместо (94.9) имеем теперь tlm jJ^ JdTG, (98.1) а вместо (94.10) — J X{a) drG = 5a0 JdrG. (98.2) Интегрирование в этих формулах есть так называемое ин- вариантное интегрирование по группе; элемент интегрирова- ния drg выражается через параметры группы и их дифферен- циалы, причем таким образом, что при воздействии на него всех преобразований группы снова получается элемент инте- грирования1). Так, в группе вращений можно выбрать drQ = = sin/3dad/3dj, где а, /3, 7 —углы Эйлера, определяющие пово- рот системы координат (§58); при этом fdrc = 8тг2. Неприводимые представления трехмерной группы враще- ний мы по существу уже нашли (не пользуясь при этом тер- 1) Высказанные утверждения о свойствах неприводимых представлений непрерывных групп справедливы лишь при условии сходимости интегра- лов (98.1), (98.2); в частности, должен быть конечен «объем группы» f drc- Для непрерывных точечных групп это условие выполняется (оно не выпол- няется, например, для так называемой лоренцевой группы, с которой мы встретимся в релятивистской теории). § 98 НЕПРЕРЫВНЫЕ ГРУППЫ 473 минологией теории групп), когда определяли собственные зна- чения и собственные функции полного момента. Операторы компонент момента совпадают (с точностью до постоянного множителя) с операторами бесконечно малых поворотовг), и собственные значения момента характеризуют поведение вол- новых функций по отношению к пространственным вращени- ям. Значению момента j соответствует 2j + 1 различных соб- ственных функций ф^т, отличающихся значениями проекции т момента и относящихся к одному Bj> + 1)-кратно вырожден- ному уровню энергии. При поворотах системы координат эти функции преобразуются друг через друга, осуществляя, таким образом, неприводимые представления группы вращения. Следовательно, с точки зрения теории групп числа j нуме- руют неприводимые представления группы вращений, причем каждому j соответствует одно Bj> + 1)-мерное представление. Число j пробегает целые и полуцелые значения, так что раз- мерность 2j + 1 представлений пробегает все целые значения 1,2,3,... Функции базиса этих представлений были уже по существу исследованы в § 56, 57 (а матрицы представлений были найдены в § 58). Базисом представления с данным j являются 2j + 1 неза- висимых компонент симметричного спинора ранга 2j (которым эквивалентна совокупность 2j + 1 функций ifjjm). Неприводимые представления группы вращений, соответ- ствующие полуцелым значениям j>, отличаются существенной особенностью. Дело в том, что при повороте на угол 2тг функ- ции их базиса (компоненты спинора нечетного ранга) меня- ют знак. Но поскольку поворот на 2тг совпадает с единичным элементом группы, то мы приходим к выводу, что предста- вления с полуцелыми j являются, как говорят, двузначными: каждому элементу группы (повороту вокруг некоторой оси на угол (р, 0 ^ (р ^ 2тг) соответствует в таком представлении не одна, а две матрицы с противоположными по знаку характера- ми2) . Изолированный атом обладает, как уже отмечалось, симмет- рией Kh = К х Сi. Поэтому, с точки зрения теории групп, каждому терму атома соответствует некоторое неприводимое представление группы вращений К (им определяется значение 1) По математической терминологии эти операторы называют генератора- ми группы вращений. 2) Необходимо сказать, что двузначные представления группы не явля- ются представлениями в истинном смысле слова, так как осуществляются неоднозначными функциями базиса; см. также § 99. 474 ТЕОРИЯ СИММЕТРИИ ГЛ. XII полного момента J атома и неприводимое представление груп- пы С j) (чем определяется четность состояния)г). При помещении атома во внешнее электрическое поле его уровни энергии расщепляются. Число возникающих при этом различных уровней и симметрия соответствующих состояний могут быть определены способом, описанным в § 96. Для этого надо разложить приводимое BJ+l)-MepHoe представление груп- пы симметрии внешнего поля (осуществляемое функциями ijjjm) по неприводимым представлениям этой группы. В связи с этим возникает необходимость в знании характеров представления, осуществляемого функциями iJJjm- Поскольку характеры непри- водимых представлений элементов одного класса одинаковы, до- статочно рассмотреть повороты вокруг одной оси—оси z. При повороте на угол <р вокруг оси z волновые функции ^jm умно- жаются, как мы знаем, на егМср, где М — проекция момента на данную ось. Поэтому матрица преобразования функций i\)jm будет диагональна с характером J \ ^ iMcp M=-J или2) По отношению же к инверсии / все функции ipjM c различ- ными М ведут себя одинаковым образом — умножаются на +1 или на —1, смотря по тому, четно или нечетно состояние атома. х) Кроме того, гамильтониан атома инвариантен по отношению к пере- становкам электронов. В нерелятивистском приближении координатные и спиновые волновые функции разделяются, и можно говорить о представ- лениях группы перестановок, осуществляемых координатными функциями. Заданием неприводимого представления группы перестановок определяется полный спин атома S (см. §63). При учете же релятивистских взаимодей- ствий разделение волновых функций на координатную и спиновую части невозможно. Симметрия по отношению к перестановкам одновременно ко- ординат и спинов частиц не приводит к какой-либо характеристике терма, так как принципом Паули допускаются лишь антисимметричные по всем электронам полные волновые функции. Это соответствует тому, что при учете релятивистских взаимодействий спин, строго говоря, не сохраняется (сохраняется лишь полный момент J). 2)Во избежание недоразумений подчеркнем, что эта формула отвечает параметризации элементов группы, отличной от параметризации углами Эйлера; преобразование задается направлением оси вращения и углом ip поворота вокруг нее. Можно показать, что при такой параметризации инте- грирование, например, в (98.2) должно производиться по 2A — cos ф) dip do, где do—элемент телесного угла для направления оси вращения. § 99 НЕПРЕРЫВНЫЕ ГРУППЫ 475 Поэтому характер X{J){I) = ±BJ + 1). (98.4) Наконец, характеры, соответствующие отражению в плоско- сти а и зеркальному повороту на угол ср, вычисляются путем представления этих преобразований симметрии в виде Остановимся еще на неприводимых представлениях группы аксиальной симметрии Coov. Этот вопрос был по существу уже решен, когда мы выясняли классификацию электронных термов двухатомной молекулы, обладающей как раз симметрией CoqV (если оба атома различны). Термам 0+ и 0~ (термы с ft = 0) соответствуют два одномерных представления: единичное пред- ставление А\ и представление ^2, в котором функция базиса инвариантна по отношению ко всем поворотам и меняет знак при отражениях в плоскостях av. Двукратно вырожденным же термам с ft = 1,2,... соответствуют двумерные представления, которые обозначают как Е\, Еч, • • • Функции их базиса умножа- ются на е±гпч:> при повороте вокруг оси на угол ср, а при от- ражении в плоскостях av — переходят друг в друга. Характеры всех этих представлений: (98.5) Неприводимые представления группы Dooh — СoqV x С% по- лучаются непосредственно из представлений группы CoqV (и соответствуют классификации термов двухатомной молекулы с одинаковыми ядрами). Если взять для ft полуцелые значения, то функции е ^ осу- ществят двузначные неприводимые представления группы Со^, соответствующие термам молекулы с полуцелым спином1).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Непрерывные группы» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
