Теория групп позволяет не только произвести классифика- цию термов любой симметричной физической системы, но и дает простой метод нахождения правил отбора для матричных эле- ментов различных величин, характеризующих систему. Этот метод основан на следующей общей теореме. Пусть щ — одна из функций базиса неприводимого (неединичного) представления группы симметрии. Тогда ее интеграл по всему пространству1) тождественно обращается в нуль: /¦ (97.1) Доказательство основано на очевидном обстоятельстве, что взя- тый по всему пространству интеграл инвариантен по отноше- нию к любому преобразованию системы координат, в том числе 1) Подразумевается конфигурационное пространство данной физической системы. § 97 ПРАВИЛА ОТБОРА ДЛЯ МАТРИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ 467 по отношению к любому преобразованию симметрии. Поэтому Просуммируем это равенство по всем элементам группы. Ин- теграл слева просто умножается на порядок группы g, и мы получаем / к J G Но для всякого неединичного неприводимого представления имеем тождественно ^2q Gj^ = 0 (это — частный случай соот- ношений ортогональности (94.7), когда одно из неприводимых представлений единичное). Тем самым теорема доказана. Если ф — функция, относящаяся к базису некоторого приво- димого представления группы, то интеграл f ф dq будет отличен от нуля, лишь если это представление содержит в себе единич- ное. Эта теорема непосредственно следует из предыдущей. Матричные элементы физической величины / даются инте- гралами ji0La) (97.2) где индексы а, /3 отличают различные уровни энергии систе- мы, а индексы г, к нумеруют волновые функции, относящие- ся к одному и тому же вырожденному уровню1). Обозначим неприводимые представления группы симметрии данной физи- , ,(а) ,(р) ческой системы, осуществляемые функциями щ и W^ •> сим- волами ?ла) и D^P'. Символом же Df обозначим представление той же группы, отвечающее симметрии величины /; оно зави- сит от тензорного характера /. Так, если / — истинный скаляр, то ее оператор / инвариантен по отношению ко всем преобра- зованиям симметрии, так что Df — единичное представление. То же самое относится и к псевдоскалярной величине, если груп- па содержит только оси симметрии; если же группа содержит также и отражения, то Df — одномерное, но неединичное пред- ставление. Если /—векторная величина, то D/— представле- ние, осуществляемое тремя преобразующимися друг через друга ) Поскольку после перехода к «физически неприводимым» представле- ниям функции базиса могут быть выбраны вещественными, мы не делаем в (97.2) различия между волновыми функциями и их комплексно сопряжен- ными. 468 ТЕОРИЯ СИММЕТРИИ ГЛ. XII компонентами вектора; это представление, вообще говоря, раз- лично для полярных и аксиальных векторов. Произведения щ /щ осуществляют представление груп- пы, выражающееся прямым произведением D^' x Df x D^aK Матричные элементы отличны от нуля, если это представление содержит в себе единичное, или, что то же, если прямое произ- ведение D(P) x Z)(a) содержит в себе Df. Практически удобнее разлагать на неприводимые части произведение ?ла) х Df] тем самым мы сразу узнаем все типы D^ состояний, для переходов в которые (из состояния типа ?ла)) матричные элементы отлич- ны от нуля. В простейшем случае скалярной величины, когда Df — еди- ничное представление, отсюда сразу следует, что отличны от нуля матричные элементы лишь для переходов между состоя- ниями одинакового типа (действительно, прямое произведение ]j\a) х ?)W двух различных неприводимых представлений не со- держит единичное представление, но оно всегда содержится в прямом произведении неприводимого представления самого на себя). Это есть наиболее общая формулировка теоремы, с част- ными случаями которой мы уже неоднократно встречались. Особого рассмотрения требуют диагональные по энергии матричные элементы, т. е. элементы для переходов между со- стояниями, относящимися к одному и тому же терму (в отличие от переходов между состояниями, относящимися к двум различ- ным термам одинакового типа). В этом случае мы имеем всего одну (а не две различные) систему функций ф[а , ща ,... Пра- вила отбора находятся здесь различным образом в зависимости от поведения величины / при обращении времени. Рассмотрим состояние, описывающееся волновой функцией вида ф = Y^i°i^i • Среднее значение величины / в этом состо- янии дается суммой 7 = В состоянии же с комплексно сопряженной волновой функцией ф* = Е<^-а) имеем Если величина / инвариантна по отношению к обращению вре- мени, то оба состояния не только относятся к одному и тому же § 97 ПРАВИЛА ОТБОРА ДЛЯ МАТРИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ 469 уровню энергии, но должны иметь также и одинаковое значе- ние /. Ввиду произвольности коэффициентов С{ это значит, что (ak\f\ai) = (ai\f\ak). Легко показать, что тогда для нахождения правил отбора на- до рассматривать не прямое произведение Z)(a) x D^a\ a лишь его симметричную часть [D^ ]; отличные от нуля матричные элементы существуют, если \D^OL> ] содержит в себе Df1). Если же величина / меняет знак при обращении времени, то замена ф —>> ф* должна сопровождаться изменением знака /. Отсюда тем же способом находим, что (ak\f\ai) = —(ai\f\ak). В этом случае правила отбора определяются разложением анти- симметричной части прямого произведения: {D^ }.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Правила отбора для матричных элементов» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
