Квантовомеханические применения теории групп основаны на том, что уравнение Шредингера для физической системы (атома, молекулы) инвариантно по отношению к преобразова- ниям симметрии этой системых). Из этого обстоятельства непо- средственно следует, что после применения элементов группы к функции, удовлетворяющей уравнению Шредингера при неко- тором значении энергии (собственное значение), должны сно- ва получаться решения того же уравнения с тем же значением энергии. Другими словами, при преобразовании симметрии вол- новые функции стационарных состояний системы, относящихся к одному и тому же уровню энергии, преобразуются друг через друга, т. е. осуществляют некоторое представление группы. Су- щественно, что это представление неприводимо. Действительно, функции, непременно преобразующиеся друг через друга при преобразованиях симметрии, во всяком случае должны отно- ситься к одному и тому же уровню энергии; совпадение же соб- ственных значений энергий, относящихся к нескольким груп- пам функций (на которые можно разбить базис приводимого ) Методы теории групп были впервые введены в квантовую механику Виг- нером (Е.Р. Wigner, 1926). 464 ТЕОРИЯ СИММЕТРИИ ГЛ. XII представления), не преобразующихся друг через друга, было бы невероятной случайностьюг). Таким образом, каждому уровню энергии системы соответ- ствует некоторое неприводимое представление ее группы симметрии. Размерность этого представления определяет крат- ность вырождения данного уровня, т. е. число различных со- стояний с данной энергией. Заданием неприводимого представ- ления определяются все свойства симметрии данного состоя- ния — его поведение по отношению к различным преобразова- ниям симметрии. Неприводимые представления с размерностью, большей чем единица, имеются только в тех группах, которые содержат не- коммутативные элементы (абелевы группы имеют лишь одно- мерные неприводимые представления). Уместно по этому пово- ду напомнить, что связь вырождения с наличием некоммута- тивных друг с другом (но коммутативных с гамильтонианом) операторов была выяснена уже раньше из соображений, не свя- занных с теорией групп (см. § 10). Ко всем этим утверждениям необходимо сделать существен- ную оговорку. Как уже в свое время указывалось (см. § 18), сим- метрия по отношению к изменению знака времени (имеющая место в отсутствие магнитного поля) приводит в квантовой ме- ханике к тому, что комплексно сопряженные волновые функции должны относиться к одному и тому же собственному значению энергии. Отсюда следует, что если некоторый набор функций и набор комплексно сопряженных с ними функций осуществ- ляют различные (не эквивалентные) неприводимые представ- ления группы, то эти два комплексно сопряженных представ- ления должны рассматриваться вместе как одно «физически неприводимое» представление с удвоенной размерностью (что и будет подразумеваться везде ниже). В предыдущем парагра- фе мы имели примеры таких представлений. Так, группа Сз имеет только одномерные представления; однако два из них комплексно сопряжены и физически соответствуют двукратно вырожденным уровням энергии. (При наличии магнитного поля симметрия по отношению к изменению знака времени не име- ет места, и потому комплексно сопряженным представлениям соответствуют различные уровни энергии2).) 1) Если только на это нет особых причин. Напомним в этой связи о «слу- чайном» вырождении, возникающем в результате того, что гамильтониан системы может иметь симметрию более высокую, чем чисто геометрическая симметрия, о которой идет речь в этой главе (ср. конец §36). ) Строго говоря, вещественность характеров (т. е. эквивалентность ком- плексно сопряженных представлений) не является достаточным условием § 96 НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И КЛАССИФИКАЦИЯ ТЕРМОВ 465 Предположим, что физическая система подвергается воздей- ствию некоторого возмущения (система помещается во внешнем поле). Возникает вопрос о том, в какой мере может возмущение привести к расщеплению вырожденных уровней. Внешнее поле имеет, само по себе, некоторую собственную симметрию1). Ес- ли эта симметрия —та же или более высокая2), чем симметрия невозмущенной системы, то симметрия возмущенного гамиль- тониана Н = Н$ + V совпадает с симметрией невозмущенного оператора Hq. Ясно, что в этом случае никакого расщепления вырожденных уровней не произойдет. Если же симметрия воз- мущения ниже симметрии невозмущенной системы, то симмет- рия гамильтониана Н будет совпадать с симметрией возмуще- ния V. Волновые функции, которые осуществляли неприво- димое представление группы симметрии оператора Но, будут осуществлять также и представление группы симметрии возму- щенного оператора i7, но это представление может оказаться приводимым, что означает расщепление вырожденного уровня. Покажем на примере, каким образом математический аппарат теории групп позволяет решить конкретно вопрос о расщепле- нии того или иного уровня. Пусть невозмущенная система обладает симметрией Т&. Рас- смотрим трехкратно вырожденный уровень, соответствующий неприводимому представлению F<i этой группы; характеры этого представления равны Е 8С3 ЗС2 6ad 6S4 3 0-11-1' Предположим, что система подвергается воздействию возмуще- ния с симметрией C$v (с осью третьего порядка, совпадающей с одной из таких осей группы Тд). Три волновые функции вырож- денного уровня осуществляют представление группы C^v (явля- для обеспечения возможности выбора вещественных функций базиса пред- ставления группы. Для неприводимых представлений точечных групп это, однако, так (но это уже не так для «двойных» точечных групп — см. §99). г) Речь может идти, например, об уровнях энергии d- и /-оболочек ионов в кристаллической решетке, слабо взаимодействующих с окружающими ато- мами. Возмущением (внешним полем) является в этом случае поле, действу- ющее на ион со стороны остальных атомов. 2) Если группа симметрии Н является подгруппой группы G, то говорят, что Н соответствует симметрии более низкой, чем более высокая симметрия группы G. Очевидно, что симметрия суммы двух выражений, из которых одно обладает симметрией G, а другое—ff, совпадает с более низкой сим- метрией Н. 466 ТЕОРИЯ СИММЕТРИИ ГЛ. XII ющейся подгруппой группы Т^), причем характеры этого пред- ставления просто равны характерам тех лее элементов в исход- ном представлении группы Т^, т. е. Е 2С3 3av 3 0 1 ' Однако это представление приводимо. Зная характеры неприво- димых представлений группы С%у, легко произвести его разло- жение на неприводимые части (по общему правилу (94.16)). Та- ким образом, найдем, что оно распадается на представления А\ и Е группы С%у. Трехкратно вырожденный уровень i^ расщеп- ляется, следовательно, на один невырожденный уровень А\ и один двукратно вырожденный уровень Е. Если та же система подвергается воздействию возмущения с симметрией С^ (тоже являющейся подгруппой группы Т^), то волновые функции того же уровня F2 дадут представление с характерами 3-11 1 ' Разлагая его на неприводимые части, найдем, что оно содер- жит представления А±, В\, i?2- Таким образом, в этом случае произойдет полное расщепление уровня на три невырожденных.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Неприводимые представления и классификация термов» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
