Классификация термов многоатомной молекулы существен- но связана, как и у двухатомной молекулы, с ее симметрией. Поэтому мы начинаем с изучения типов симметрии, которыми может обладать молекула. Симметрия тела определяется совокупностью тех переме- щений, которые совмещают тело с самим собой; об этих пере- мещениях говорят, как о преобразованиях симметрии. Каждое из возможных преобразований симметрии можно представить в виде комбинации одного или нескольких из трех основных типов преобразований. Этими тремя существенно различными типами являются: поворот тела на определенный угол вокруг некоторой оси, зеркальное отражение в некоторой плоскости и параллельный перенос тела на некоторое расстояние. Из них последним типом может обладать, очевидно, только неограни- ченная среда (кристаллическая решетка). Тело же конечных раз- меров (в частности, молекула) может быть симметрично только по отношению к поворотам и отражениям. Если тело совмещается само с собой при повороте вокруг некоторой оси на угол 2тг/п, то такая ось называется осью сим- метрии п-то порядка. Число п может иметь любое целое значе- ние: п = 2, 3, ...; значение п = 1 соответствует повороту на угол 2тг или, что то же, на 0, т. е. соответствует тождествен- ному преобразованию. Операцию поворота вокруг данной оси на угол 2тг/п мы будем обозначать символом Сп. Повторяя эту операцию два, три, ... раза, мы получим повороты на углы 2Bтг/п), 3Bтг/п),..., которые тоже совмещают тело с самим со- бой; эти повороты можно обозначать как С^,С^,... Очевидно, что если п кратно р, то С1 = Сп/р. (91.1) В частности, произведя поворот п раз, мы вернемся в исход- ное положение, т. е. произведем тождественное преобразование] последнее принято обозначать буквой Е, т. е. можно написать СЦ = Е. (91.2) 434 ТЕОРИЯ СИММЕТРИИ ГЛ. XII Рис. 32 Если тело совмещается с самим собой при зеркальном отра- жении в некоторой плоскости, то такая плоскость называется плоскостью симметрии. Операцию отражения в плоскости мы будем обозначать символом а. Очевидно, что двукратное отра- жение в одной плоскости есть тождественное преобразование а2 = Е. (91.3) Одновременное применение обоих преобразований— пово- рота и отражения — приводит к так называемым зеркально-по- воротным осям. Тело обладает зеркально-поворотной осью п-го порядка, если оно совмещается с са- мим собой при повороте вокруг этой оси на угол 2тг/п и последующем от- ражении в плоскости, перпендикуляр- ной к оси (рис. 32). Легко сообразить, что это есть некоторый новый вид симметрии только в том случае, ес- ли п—четное число. Действительно, если п— нечетное число, то п-крат- ное повторение зеркально-поворотно- го преобразования будет равносильно простому отражению в плоскости, пер- пендикулярной к оси (поскольку угол поворота будет равен 2тг, а нечетное число отражений в од- ной и той же плоскости есть простое отражение). Повторяя это преобразование еще п раз, найдем в результате, что зеркаль- но-поворотная ось сводится к одновременному наличию незави- симых оси симметрии n-го порядка и перпендикулярной к ней плоскости симметрии. Если же п— четное число, то п-кратное повторение зеркально-поворотного преобразования возвращает тело в исходное положение. Зеркально-поворотное преобразование обозначаем симво- лом Sn. Обозначая отражение в плоскости, перпендикулярной к данной оси, через сг^, можем написать, по определению Sn = Cnah = ahCn (91.4) (порядок, в котором производятся операции Сп и сг^, очевидно, не влияет на результат). Важным частным случаем является зеркально-поворотная ось второго порядка. Легко сообразить, что поворот на угол тг с последующим отражением в плоскости, перпендикулярной к оси вращения, представляет собой преобразование инверсии, при ко- тором точка Р тела переводится в другую точку Р7, лежащую на продолжении прямой, соединяющей Р с точкой О пересече- ния оси с плоскостью, так что расстояния ОР и ОР' одинаковы. § 91 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИММЕТРИИ 435 О теле, симметричном относительно этого преобразования, го- ворят, что оно обладает центром симметрии (операцию инверсии мы будем обозначать буквой /): I = S2 = C2ah. (91.5) Очевидно также, что Ia^ = C2, IC2 = стн\ другими словами, ось второго порядка, перпендикулярная к ней плоскость симметрии и центр симметрии в точке их пересечения взаимно зависимы — наличие любых двух из этих элементов автоматически приводит к наличию также и третьего. Укажем здесь ряд чисто геометрических свойств, присущих поворотам и отражениям, которые полезно иметь в виду при изу- чении симметрии тел. Произведение двух поворотов вокруг осей, пересекающихся в некоторой точке, есть поворот вокруг некоторой третьей оси, проходящей через ту же точку. Произведение двух отражений в пересекающихся друг с другом плоскостях эквивалентно пово- роту; ось этого поворота, очевидно, совпадает с линией пересе- чения плоскостей, а угол поворота равен, как легко убедиться простым геометрическим построением, удвоенному углу меж- ду обеими плоскостями. Если обозначить поворот вокруг оси на угол (р через С(ф), а отражения в двух плоскостях, проходящих через ось, символами av и сг^1), то высказанное утверждение можно записать в виде ava'v = CB<p), (91.6) где <р — угол между обеими плоскостями. Необходимо отметить, что порядок, в котором производятся оба отражения, не без- различен: преобразование crvafv дает поворот в направлении от плоскости crv к (Tv, а при перестановке множителей мы получим поворот в обратном направлении. Умножая равенство (91.6) сле- ва на <7V, получим a'v = avC{2^ (91.7) другими словами, произведение поворота и отражения в плос- кости, проходящей через ось, эквивалентно отражению в другой плоскости, пересекающейся с первой под углом, равным поло- вине угла поворота. В частности, отсюда следует, что ось сим- метрии второго порядка и две проходящие через нее взаимно перпендикулярные плоскости симметрии взаимно зависимы: на- личие двух из них требует также наличия третьей. ) Индексом v обычно отличают отражение в плоскости, проходящей че- рез данную ось («вертикальная» плоскость), а индексом h—в плоскости, перпендикулярной к оси («горизонтальная» плоскость). 436 ТЕОРИЯ СИММЕТРИИ ГЛ. XII Покажем, что произведение поворотов на угол тг вокруг двух пересекающихся под углом ср осей (Оа и Ob на рис. 33) есть по- ворот па угол 2<р вокруг оси, перпендикулярной к первым двум (PPf на рис. 33). Действительно, заранее ясно, что результиру- ющее преобразование есть тоже поворот; после первого поворо- та (вокруг О а) точка Р переходит в Р1, а после второго (во- круг Ob) она возвращается в исходное положение. Это значит, что линия РР1 остается неподвижной и, следовательно, является осью пово- рота. Для определения угла поворота достаточно заметить, что при первом повороте ось О а остается на месте, а после второго переходит в положе- ние О а1', образующее с О а угол 2ср. Та- ким же способом можно убедиться в том, что при перемене порядка обоих преобразований мы получим поворот в противоположном направлении. Хотя результат двух последовательных преобразований за- висит, вообще говоря, от порядка, в котором они производят- ся, однако в ряде случаев порядок операций несуществен — пре- образования коммутативны. Это имеет место для следующих преобразований: 1) два поворота вокруг одной и той же оси; 2) два отражения во взаимно перпендикулярных плоскостях (они эквивалентны повороту на угол тг вокруг линии пересечения плоскостей); 3) два поворота на угол тг вокруг взаимно перпендикулярных осей (они эквивалентны повороту на тот же угол вокруг третьей перпендикулярной оси); 4) поворот и отражение в плоскости, перпендикулярной к оси поворота; 5) любой поворот (или отражение) и инверсия в точке, лежа- щей на оси вращения (или в плоскости отражения); это следует из 1) и 4).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Преобразования симметрии» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
