Вся принципиальная сторона метода вторичного квантова- ния остается без изменений для систем, состоящих из одинако- вых фермионов. Конкретные же формулы для матричных эле- ментов величин и для операторов а^, конечно, меняются. 1) Для систем с заданным числом частиц эти утверждения (как и свойства гамильтониана системы свободных частиц F4.19)) представляются триви- альными. Их обобщение в релятивистской теории приводит, однако, к но- вым, отнюдь не тривиальным результатам (ср. IV, §11). 306 ТОЖДЕСТВЕННОСТЬ ЧАСТИЦ ГЛ. IX Волновая функция ipNiN2... имеет теперь вид F1.5). В связи с антисимметричностью этой функции прежде всего возникает вопрос о выборе ее знака. В случае статистики Бозе этого во- проса не было, так как, ввиду симметричности волновой функ- ции, раз выбранный ее знак сохранялся при всех перестановках частиц. Для того чтобы сделать знак функции F1.5) определенным, условимся устанавливать его следующим образом. Перенумеру- ем раз и навсегда все состояния ipi последовательными номе- рами. После этого будем заполнять строки определителя F1.5) всегда таким образом, чтобы было Pi < Р2 < Рз < • • • < PN, F5.1) причем в столбцах стоят функции различных переменных в по- следовательности ?i, ?2, • • •, ?,n- Среди чисел ?>i,P2, • • • не может быть равных, так как в противном случае определитель обра- тится в нуль. Другими словами, числа заполнения Ni могут иметь только значения 0 или 1. Рассмотрим снова оператор вида F4.1): F^ = Y^fa • По § 4 б () Y^f тем же причинам, что и в § 64, его матричные элементы будут отличны от нуля только для переходов без изменения всех чи- сел заполнения и для переходов, при которых одно из них (JVj) уменьшается на единицу (становясь равным нулю вместо еди- ницы), а другое (N^) увеличивается на единицу (переходит из нуля в единицу). Легко найти, что при г < к (li.Ofcl^lO^lfc) = /W(-l)?«+i,fc-D. F5.2) Здесь символами 0j, \% обозначены значения JVi = 0, Ni = 1, а символом ХХ^> 0 — сумма чисел заполнения всех состояний от fc-ro до /-го1): п=к Для диагональных же элементов получается прежняя форму- ла F4.4) ^TyE41)jV- F5-3) Для того чтобы оператор F^ мог быть представлен в фор- ме F4.13), операторы щ должны определяться как матрицы х) При г > к в показателе в F5.2) надо писать ^2(к + 1, г — 1). При г = к ± 1 эти суммы надо заменять нулями. 65 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ. СЛУЧАЙ СТАТИСТИКИ ФЕРМИ 307 с элементами: Перемножив эти матрицы, найдем (при к > г) или AгМ4аФгЛк) = (-1J(*+1.*-1). F5.5) Если же г = fc, то матрица a^ai диагональна, причем ее элемен- ты равны единице при JVj = 1 и нулю при Ni = 0; это молено написать в виде а+аг = Ni. F5.6) При подстановке этих выраж:ений в F4.13) мы действительно получим F5.2), F5.3). Перемножая а^~, ак в обратном порядке, будем иметь A.0 Сравнив F5.7) с F5.5), мы видим, что эти величины противопо- ложны по знаку, так что afak + akZf = 0, ъфк. Для диагональной матрицы ^{а^ найдем щаУ = 1-Щ. F5.8) Сложив с F5.6), получим cbiCbl + a^ai = 1. Оба полученных равенства можно написать вместе в виде ща? + a^cii = 5ik. F5.9) Произведя аналогичные вычисления, получим для произведений щ, ак соотношения akdi = 0 F5.10) (в частности, a^ = 0). 308 ТОЖДЕСТВЕННОСТЬ ЧАСТИЦ ГЛ. IX Таким образом, мы видим, что операторы а^ и а& (или а^~) с г ф к оказываются антикоммутативными, между тем как в случае статистики Бозе они коммутировали друг с другом. Это различие вполне естественно. В случае статистики Бозе опера- торы щ и а& были совершенно независимыми; каждый из опе- раторов щ действовал только на одну переменную 7\^, причем результат воздействия не зависел от значений остальных чисел заполнения. В случае же статистики Ферми результат воздей- — л т ствия оператора а^ зависит не только от самого числа 7V^, но и от чисел заполнения всех предыдущих состояний, как это видно из определения F5.4). Поэтому действие различных операторов а^, а& не может рассматриваться как независимое. После того как свойства операторов а^, а^~ таким образом определены, все остальные формулы F4.13)-F4.18) остаются полностью в силе. Остаются также и формулы F4.23)—F4.25), выражающие операторы физических величин через ^-операто- ры, определяемые посредством F4.20). Правила же коммута- ции F4.21) и F4.22) заменяются теперь равенствами №) = s(t - с'), F5.il) Если система состоит из различных частиц, то для каждого рода частиц должны быть введены свои операторы вторичного квантования (как уже упоминалось в конце предыдущего пара- графа). Операторы, относящиеся к бозонам и фермионам, при этом коммутативны друг с другом. Что же касается операторов, относящихся к различным фермионам, то в пределах нереляти- вистской теории их формально можно считать либо коммута- тивными, либо антикоммутативными; в обоих предположениях применение метода вторичного квантования приводит к одина- ковым результатам. Имея, однако, в виду дальнейшее применение в релятивист- ской теории, допускающей взаимные превращения различных частиц, мы должны считать операторы рождения и уничтоже- ния различных фермионов антикоммутативными. Это обстоя- тельство становится очевидным, если рассматривать в качестве различных частиц два разных внутренних состояния одной и той же сложной частицы.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Вторичное квантование. Случай статистики Ферми» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
