Рассматривая систему, состоящую всего из двух частиц, мы могли утверждать, что ее координатные волновые функции ста- ционарных состояний <p(ti, Г2) должны быть либо симметричны, либо антисимметричны. В общем же случае системы из произ- вольного числа частиц решения уравнения Шредингера (коор- динатные волновые функции) отнюдь не должны непременно быть симметричными или антисимметричными по отношению к перестановке любой пары частиц, как это имеет место для полных волновых функций (включающих спиновой множитель). Это связано с тем, что перестановка одних только координат двух частиц еще не соответствует их физической перестановке. Физическая одинаковость частиц приводит здесь лишь к тому, что гамильтониан системы инвариантен по отношению к пере- становке частиц, и потому если некоторая функция есть решение уравнения Шредингера, то решениями являются и функции, по- лучающиеся из исходной посредством различных перестановок переменных. Предварительно сделаем несколько замечаний о перестанов- ках вообще. В системе из N частиц возможны всего N1 раз- личных перестановок. Если представить себе все частицы пе- ренумерованными, то каждую перестановку можно изобразить определенной последовательностью чисел 1, 2, 3,... Каждая та- кая последовательность может быть получена из натуральной последовательности 1, 2, 3,... последовательными перестановка- ми пар частиц. Перестановку называют четной или нечетной в зависимости от того, осуществляется ли она четным или нечет- ным числом парных перестановок. Обозначим через Р операто- ры перестановок N частиц и введем величину ?р, равную +1, ес- ли Р есть четная перестановка, и —1, если перестановка нечет- ная. Если <р есть симметричная по всем частицам функция, то § 63 СИММЕТРИЯ ПО ОТНОШЕНИЮ К ПЕРЕСТАНОВКАМ 291 а если функция антисимметрична по всем частицам, то Pip = 8 pip. Из произвольной функции (y9(ri, Г2,..., гдг) молено образо- вать симметричную функцию посредством операции симметри- зации, которую можно записать так: = const • ^ ^V> F3.1) где суммирование производится по всем возможным переста- новкам. Образование же антисимметричной функции (эту опе- рацию иногда называют альтернированием) может быть запи- сано в виде ^анти = COnst • ^^ 8рРр. F3.2) р Возвратимся к вопросу о поведении волновых функций ср системы одинаковых частиц по отношению к перестановкамх). Тот факт, что гамильтониан системы Н симметричен по всем частицам, означает, математически, что он коммутативен со всеми операторами перестановок Р. Однако эти операторы не коммутативны друг с другом и поэтому не могут быть приве- дены одновременно к диагональному виду. Это значит, что вол- новые функции ср не могут быть выбраны так, чтобы каждая из них была симметрична или антисимметрична по отношению ко всем отдельным парным перестановкам2). Поставим задачу об определении возможных типов симмет- рии функций (/?(ri, ri,..., гдг) от N переменных (или совокупно- стей нескольких таких функций) по отношению к перестановкам переменных. Симметрия должна быть такой, чтобы она не могла быть по- вышена, т. е. чтобы всякая дополнительная операция симметри- зации или альтернирования при применении к этим функциям обращала бы их либо в линейные комбинации их же самих, либо тождественно в нуль. 1) С математической точки зрения задача состоит в нахождении неприво- димых представлений группы перестановок. Подробное изложение матема- тической теории групп перестановок см. в книгах: Г. Вейль. Теория групп и квантовая механика. —М.: Наука, 1985; М. Хамермеш. Теория групп и ее применения к физическим проблемам. —М.: ИЛ, 1966; И. Г. Каплан. Сим- метрия многоэлектронных систем. —М.: Наука, 1969. 2) Лишь для системы из двух частиц имеется всего один оператор переста- новки, который может быть приведен к диагональному виду одновременно с гамильтонианом. 292 ТОЖДЕСТВЕННОСТЬ ЧАСТИЦ ГЛ. IX Мы знаем уже две операции, которые приводят к функциям максимальной симметрии: симметризация по всем переменным и альтернирование по всем переменным. Эти операции могут быть обобщены следующим образом. Разобьем совокупность всех N переменных ri, Г2,..., гдг (или, что то же самое, индексов 1, 2,3,..., N) на несколько рядов, содержащих N\, N2,... элементов (переменных): N\ + + N2 + ... = N. Такое разбиение можно изобразить наглядно схемой (так называемая схема Юпга\ в которой каждое из чи- сел iVi, N2,... представлено строкой из нескольких клеток (так, на рис. 21 представлена схема разбиений 6 + 4 + 4 + 3 + 3 + 1 + 1 и 7 + 5 + 5 + 3 + 1 + 1 для N = 22); в каждом из квадратов следует поместить одно из чисел 1, 2, 3,... Если расположить строки в порядке их укорочения (так это и сделано на рис. 21), то схема будет содержать не только последовательные горизонтальные строки, но и вертикальные столбцы. Произведем симметризацию некоторой произвольной функ- ции <^(ri, Г2,..., гдг) по переменным, входящим в состав каждой из строк. После этого операция альтернирования может произво- диться только по отношению к переменным, входящим в различ- ные строки; альтернирование по паре переменных, находящихся в одной строке, даст, очевидно, тож- Рис- 21 дественно нуль. Выбрав из каждой строки по одной переменной, мы можем, не ограничивая общности, счи- тать их находящимися в первых клетках строк (после симмет- ризации порядок расположения переменных по клеткам каждой строки несуществен); произведем альтернирование по этим пе- ременным. Вычеркнув затем первый столбец, произведем аль- тернирование по переменным, выбранным по одному из каждой строки укороченной таким образом схемы; теперь эти перемен- ные можно снова считать находящимися в первых клетках уко- роченных строк. Продолжая этот процесс, мы придем к функ- ции, сначала симметризованной по переменным каждой стро- ки, а затем альтернированной по переменным каждого столбца (разумеется, после альтернирования функция, вообще говоря, перестает быть симметричной по переменным каждой строки; симметричность сохраняется лишь по отношению к перемен- ным, находящимся в клетках первой строки, выступающих за остальные строки). Распределяя N переменных различным образом по стро- кам схемы Юнга (распределение по клеткам каждой строки § 63 СИММЕТРИЯ ПО ОТНОШЕНИЮ К ПЕРЕСТАНОВКАМ 293 несущественно), мы получим таким способом ряд функций, кото- рые при произвольной перестановке переменных преобразуются друг через друга1). Необходимо, однако, подчеркнуть, что не все эти функции линейно независимы; число независимых функций, вообще говоря, меньше числа возможных распределений пере- менных по строкам схемы; мы не станем останавливаться здесь на этом подробнее2). Таким образом, каждая юнговская схема определяет неко- торый тип симметрии функций по отношению к перестановкам. Составляя все возможные (для данного N) юнговские схемы, мы найдем все возможные типы симметрии. Это сводится к разби- ению числа N всеми возможными способами на сумму несколь- ких меньших слагаемых, причем в число возможных разбиений включается также и само число N (так, для N = 4 возможны разбиения: 4, 3 + 1, 2 + 2, 2 + 1 + 1, 1 + 1 + 1 + 1). Каждому уровню энергии системы можно привести в со- ответствие некоторую юнговскую схему, определяющую пере- становочную симметрию соответствующих решений уравнения Шредингера; при этом каждому значению энергии соответству- ет, вообще говоря, несколько различных функций, при пере- становках преобразующихся друг через друга. Наличие этого «перестановочного вырождения» связано с упоминавшейся уже некоммутативностью операторов Р, каждый из которых ком- мутативен с гамильтонианом (ср. §10, с. 48). Подчеркнем, од- нако, что оно не означает наличия какого-либо дополнительно- го физического вырождения уровней энергии. Все эти различ- ные координатные волновые функции, умноженные на спино- вые функции, входят в одну определенную комбинацию—пол- ную волновую функцию, — удовлетворяющую (в зависимости от спина частиц) условию симметричности или антисимметрично- сти. Среди различных типов симметрии всегда существует (при данном N) два, которым соответствуют всего по одной функ- ции. Одному из них отвечает функция, симметричная по всем переменным, а другому — антисимметричная (в первом случае 1) Молено было бы производить симметризацию и альтернирование в об- ратном порядке — сначала альтернировать по переменным в каждом столб- це, а затем симметризовать по переменным в строках. Это, однако, не дало бы ничего нового, так как получающиеся обоими способами функции явля- ются линейными комбинациями друг друга. 2) Преобразующиеся друг через друга независимые функции составля- ют базис неприводимого представления группы перестановок. Число этих функций есть размерность представления. Для случая частиц со спином 1/2 оно определено в задаче 1 к этому параграфу. 294 ТОЖДЕСТВЕННОСТЬ ЧАСТИЦ ГЛ. IX юнговская схема состоит всего из одной строки из N клеток, а во втором — из одного столбца). Перейдем к спиновым волновым функциям х^Ъ а2, • • •, &n)- Их типы симметрии по отношению к перестановкам частиц определяются теми же юнговскими схемами, причем роль пе- ременных играют проекции спинов частиц. Возникает вопрос о том, какая схема должна соответствовать спиновой функ- ции при заданной схеме координатной функции. Предположим сначала, что частицы обладают целым спином. Тогда полная волновая функция ф должна быть симметрична по всем части- цам. Для этого симметрия спиновых и координатных функций должна определяться одной и той же юнговской схемой, а полная волновая функция ф выражается в виде определенных билиней- ных комбинаций тех и других; мы не станем останавливаться здесь на вопросе о составлении этой комбинации. Пусть теперь частицы обладают полуцелым спином. Тогда полная волновая функция должна быть антисимметричной по всем частицам. Можно показать, что для этого юнговские схе- мы координатной и спиновой функций должны быть дуальными: получаться друг из друга заменой строк столбцами и обратно (таковы, например, две схемы, изображенные на рис. 21). Остановимся подробнее на важном случае частиц со спи- ном 1/2 (например, электронов). Каждая из спиновых перемен- ных 0,сг2,... пробегает здесь всего два значения ±1/2. По- скольку функция, антисимметричная по каким-либо двум пере- менным, обращается в нуль, когда эти переменные имеют оди- наковые значения, то ясно, что функция х может быть альтер- нирована лишь по парам переменных; уже при альтернирова- нии по трем переменным две из них во всяком случае будут иметь одинаковые значения, так что получится тождественно нуль. Таким образом, для системы электронов юнговские схемы спиновых функций могут содержать столбцы длиной лишь в од- ну или две клетки (т. е. всего одну или две строки); в юнговских же схемах координатных функций то же самое относится к длине строк. Число возможных типов перестановочной симметрии для системы из N электронов равно, следовательно, числу возмож- ных разбиений числа N на сумму единиц и двоек. При четном N это число равно N/2 + 1 (разбиения с 0,1,..., N/2 двоек), а при нечетном оно равно (N + 1)/2 (разбиения с 0,1,..., (N — 1)/2 двоек). Так, на рис. 22 изображены возможные юнговские схемы (координатные и спиновые) для N = 4. Легко видеть, что каждый из этих типов симметрии (т. е. каждая из юнговских схем) соответствует определенному пол- ному спину S системы электронов. Будем рассматривать 5 63 СИММЕТРИЯ ПО ОТНОШЕНИЮ К ПЕРЕСТАНОВКАМ 295 спиновые функции в спинорном виде, т. е. в виде спинора ^^'" JV-ro ранга, причем его индексы (каждый из которых соот- ветствует спину отдельной частицы) будут теми переменными, которые располагаются в клетках юнговских схем. Рассмотрим спино- вую юнговскую схему, состоящую из двух строк, имеющих по Ni и N2 кле- ток (JVi + N2 = N, JVi ^ N2). В первых N столбцах имеется по две клетки, и по соответствующим парам индексов спинор должен быть анти- симметричен. По индексам же, нахо- дящимся в последних п = N\ — N2 клетках первой строки, спинор должен быть симметричен. Но, как мы знаем, такой спинор JV-ro ранга сводится к симмет- ричному спинору n-го ранга, которому соответствует полный спин, равный S = п/2. Возвращаясь к юнговским схемам ко- ординатных функций, мы можем сказать, что схема с п стро- ками, содержащими по одной клетке, соответствует состоя- нию с полным спином S = п/2. При четном N полный спин может иметь целые значения от 0 до iV/2, а при нечетном N— полу целые значения от 1/2 до iV/2, как и должно было быть. Подчеркнем, что такое однозначное соответствие юнговских схем полному спину имеет место только для систем частиц со спином 1/2; для системы всего из двух частиц мы убедились в этом уже в предыдущем параграфе. Для системы N частиц со спином s спиновая волновая функция строится из произве- дения N симметричных спиноров ранга 2s, т. е. является спи- нором ранга 2 TVs. Если этот спинор симметризовать в соответ- ствии с определенной схемой Юнга из N клеток, то из неза- висимых компонент такого симметризованного спинора можно образовать обычно несколько наборов линейных комбинаций, отвечающих каждый различным значениям полного спина си- стемы S. Подобно тому как для частиц со спином 1/2 схема Юнга спи- новых функций не может содержать столбцы с более чем дву- мя клетками, так для частиц с произвольным спином s длина столбцов не должна превышать 2s + 1 клеток. Если число частиц в системе N есть целое кратное от 2s + 1, то среди возможных юнговских схем есть прямоугольная схе- ма, все столбцы которой содержат по 2s + 1 клеток. Такой схе- ме отвечает одно определенное значение полного спина: S = 0. Отсюда следует, что всяким вообще двум (спиновым) юнгов- ским схемам, которые можно сложить вместе в прямоугольник 296 ТОЖДЕСТВЕННОСТЬ ЧАСТИЦ ГЛ. IX высотой 25 + 1, отвечают одинаковые значения S1). Этот вывод есть просто следствие того факта, что при сложении двух мо- ментов суммарный момент может оказаться равным нулю, лишь если складываемые моменты одинаковы по величине. В заключение этого параграфа вернемся к отмеченному уже ранее (см. примеч. на с. 86) обстоятельству, что для систем из нескольких одинаковых частиц нельзя утверждать, что волно- вая функция ее стационарного состояния с наименьшей энерги- ей не имеет узлов. Теперь мы можем уточнить это замечание и выяснить его происхождение. Волновая функция (речь идет о координатной функции), не имеющая узлов, непременно должна быть симметрична по всем частицам; если бы она была антисимметрична по отношению к перестановке какой-либо пары частиц 1, 2, то она обратилась бы в нуль при п = Г2. Но если система состоит из трех или более электронов, то полностью симметричная координатная волновая функция вообще не допускается (юнговская схема координатной функции не может иметь строки с более чем двумя клетками). Таким образом, хотя решение уравнения Шредингера, соответ- ствующее наименьшему собственному значению, и не имеет уз- лов (согласно теореме вариационного исчисления), однако это решение может оказаться физически недопустимым; тогда нор- мальному состоянию системы будет соответствовать не наимень- шее из собственных значений уравнения Шредингера, и волно- вая функция этого состояния будет, вообще говоря, иметь узлы. Вообще, для частиц с полуцелым спином s такое положение име- ет место в системах с более чем 2s + 1 частицами. Для систем же, состоящих из бозонов, полностью симметричная координат- ная волновая функция всегда возможна.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Симметрия по отношению к перестановкам» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
