Ниже, в этой главе, мы не будем интересоваться зависимо- стью волновых функций от координат. Говоря, например, о по- ведении функций ф(х^у,г;а) при повороте системы координат, можно подразумевать, что частица находится в начале коорди- нат, так что ее координаты при таком повороте останутся неиз- менными и полученные результаты будут характерны именно для поведения функции ф в зависимости от спиновой перемен- ной а. Переменная а отличается от обычных переменных (коорди- нат) своей дискретностью. Наиболее общий вид линейного опе- ратора, действующего на функции от дискретной переменной а, запишем в виде где faa' — постоянные; заключив fip в скобки, мы тем самым хотим подчеркнуть, что следующий далее спиновый аргумент относится уже не к начальной функции ф, а к функции, возник- шей под действием оператора /. Легко видеть, что величины faai совпадают с матричными элементами оператора, определенными по обычному правилу A1.5I). Интегрирование по координатам в A1.5) заменяется теперь суммированием по дискретной пере- менной, так что определение матричного элемента принимает вид Е E5.2) ) Обратим внимание на то, что при этом индексы у матричных элементов в правой части E5.1) записаны в последовательности, в известном смысле обратной обычной последовательности в A1.11). § 55 ОПЕРАТОР СПИНА 255 Здесь фа1(а) и фа2 (а) — собственные функции оператора s^, от- вечающие собственным значениям sz = а\ и sz = (J2; каждая такая функция отвечает состоянию, в котором частица облада- ет определенным значением sz, т.е. из всех компонент волновой функции отлична от нуля лишь однах): фа1 (а) = Saai, Vv2 (о") = <W2 • E5.3) Согласно E5.1) имеем и после подстановки, вместе с фа2(а), в E5.2) последнее равен- ство удовлетворяется автоматически, чем и доказывается сде- ланное утверждение. Таким образом, операторы, действующие на функции от <т, могут быть представлены в виде Bs + 1)-рядных матриц. Это относится, в частности, к оператору самого спина, действие ко- торого на волновую функцию выражается, согласно E5.1), фор- мулой ^H E5-4) Согласно сказанному выше (конец §54) матрицы s#, s^, s^ сов- падают с полученными в § 27 матрицами Ьж, Ly, Lz, в которых надо лишь заменить буквы L и М буквами s и а: {sx)v,<t-1 = (Sx)a-l,a = " V (S Тем самым мы определили оператор спина. В важнейшем случае спина 1/2 (s = 1/2, а = =Ы/2) эти ма- трицы двухрядны. Их записывают в виде * = -2°, E5.6) г) Более точно надо было бы писать: фа1(а) = ф(х,у, z)8(Tia\ в E5.3) опу- щены несущественные в данной связи координатные множители. Подчеркнем лишний раз необходимость отличать заданное собственное значение sz (аг или сгг) от независимой переменной <т! Именно с этим связано различие записей A1.11) и E5.1). 256 СПИН ГЛ. VIII /О 1\ /О -г\ ^ /1 О \ = (д о) ' °у = ^ О J ' °* = (о -lj где1) Матрицы E5.7) называют матрицами Паули. Матрица s^ = — диагональна, как и должно быть для матрицы, определенной по собственным функциям самой величины sz2). Отметим некоторые специфические свойства матриц Паули. Непосредственно перемножая матрицы E5.7), получим равен- ства Jl=^ = 'i = \, _ E5.8) Комбинируя их с общими правилами коммутации E4.1), найдем, что дгдк+дкдг = 26ik, E5.9) т. е. матрицы Паули антикоммутативны. С помощью этих ра- венств легко убедиться в справедливости следующих полезных формул: а2 = 3, (oa)(ob) = ab + io[ab], E5.10) где а и b — два произвольных вектора3). В силу этих соотноше- ний всякое скалярное полиномиальное выражение, составленное из матриц Э{, сводится к не зависящим от а членам и членам пер- вой степени по о; отсюда следует, что всякая вообще скалярная функция оператора а сводится к линейной функции (см. зада- чу 1). Наконец, отметим значения следов (сумм диагональных компонент) матриц Паули и их произведений: E5.11) Х)В записи матриц в виде E5.7) строки и столбцы нумеруются значе- ниями сг, причем номер строки соответствует первому, а номер столбца — второму индексу матричного элемента. В данном случае эти номера про- бегают значения +1/2, —1/2. Действие оператора, согласно E5.4), означает перемножение сг-й строки матрицы с компонентами волновой функции, рас- положенными в столбик ( 2) Обозначение проекции спина и матриц Паули одинаковой буквой не мо- жет повлечь недоразуменения: матрицы Паули снабжены крышечкой над буквой. 3) Не зависящие от а члены в правых частях равенств E5.8)-E5.10) надо, конечно, понимать как константы, умноженные на единичную двухрядную матрицу. § 55 ОПЕРАТОР СПИНА 257 Подробному изучению спиновых свойств волновых функций, в том числе их поведения при произвольных вращениях систе- мы координат, посвящены следующие параграфы этой главы. Но уже здесь сразу лее отметим важное свойство этих функций — поведение относительно поворотов вокруг оси z. Произведем бесконечно малый поворот на угол бер вокруг оси z. Оператор такого поворота выражается с помощью оператора момента (в данном случае — спина) в виде 1 + iS(p^sz. Поэтому в результате поворота функции ф(сг) перейдут в ф(сг) + 5ф(а), где Sip (a) = iS(ps'zip(a) = iaip(cr)S(p. Переписав это соотношение в виде dip /dip = icrip{a) и интегрируя, находим, что при повороте на конечный угол <р функции ip(cr) перейдут в функции ф(а)' = ф(а)е^. E5.12) В частности, при повороте на угол 2тг они умножаются на мно- житель е2?ггсг , одинаковый для всех а и равный (—IJ5 (число 2<т всегда имеет ту же четность, что и 2s). Таким образом, при пол- ном повороте системы координат вокруг оси z волновые функции частицы с целым спином возвращаются к своему первоначально- му значению, а волновые функции частиц с полу целым спином меняют свой знак.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Оператор спина» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
