ДИПЛОМНІ КУРСОВІ РЕФЕРАТИ


ИЦ OSVITA-PLAZA

Реферати статті публікації

Пошук по сайту

 

Пошук по сайту

Головна » Реферати та статті » Фізика » Теоретична фізика у 10 томах

Оператор спина
Ниже, в этой главе, мы не будем интересоваться зависимо-
стью волновых функций от координат. Говоря, например, о по-
ведении функций ф(х^у,г;а) при повороте системы координат,
можно подразумевать, что частица находится в начале коорди-
нат, так что ее координаты при таком повороте останутся неиз-
менными и полученные результаты будут характерны именно
для поведения функции ф в зависимости от спиновой перемен-
ной а.
Переменная а отличается от обычных переменных (коорди-
нат) своей дискретностью. Наиболее общий вид линейного опе-
ратора, действующего на функции от дискретной переменной а,
запишем в виде
где faa' — постоянные; заключив fip в скобки, мы тем самым
хотим подчеркнуть, что следующий далее спиновый аргумент
относится уже не к начальной функции ф, а к функции, возник-
шей под действием оператора /. Легко видеть, что величины faai
совпадают с матричными элементами оператора, определенными
по обычному правилу A1.5I). Интегрирование по координатам
в A1.5) заменяется теперь суммированием по дискретной пере-
менной, так что определение матричного элемента принимает
вид
Е E5.2)
) Обратим внимание на то, что при этом индексы у матричных элементов
в правой части E5.1) записаны в последовательности, в известном смысле
обратной обычной последовательности в A1.11).
§ 55 ОПЕРАТОР СПИНА 255
Здесь фа1(а) и фа2 (а) — собственные функции оператора s^, от-
вечающие собственным значениям sz = а\ и sz = (J2; каждая
такая функция отвечает состоянию, в котором частица облада-
ет определенным значением sz, т.е. из всех компонент волновой
функции отлична от нуля лишь однах):
фа1 (а) = Saai, Vv2 (о") = <W2 • E5.3)
Согласно E5.1) имеем
и после подстановки, вместе с фа2(а), в E5.2) последнее равен-
ство удовлетворяется автоматически, чем и доказывается сде-
ланное утверждение.
Таким образом, операторы, действующие на функции от <т,
могут быть представлены в виде Bs + 1)-рядных матриц. Это
относится, в частности, к оператору самого спина, действие ко-
торого на волновую функцию выражается, согласно E5.1), фор-
мулой
^H E5-4)
Согласно сказанному выше (конец §54) матрицы s#, s^, s^ сов-
падают с полученными в § 27 матрицами Ьж, Ly, Lz, в которых
надо лишь заменить буквы L и М буквами s и а:
{sx)v,<t-1 = (Sx)a-l,a = " V (S
Тем самым мы определили оператор спина.
В важнейшем случае спина 1/2 (s = 1/2, а = =Ы/2) эти ма-
трицы двухрядны. Их записывают в виде
* = -2°, E5.6)
г) Более точно надо было бы писать: фа1(а) = ф(х,у, z)8(Tia\ в E5.3) опу-
щены несущественные в данной связи координатные множители.
Подчеркнем лишний раз необходимость отличать заданное собственное
значение sz (аг или сгг) от независимой переменной <т! Именно с этим связано
различие записей A1.11) и E5.1).
256 СПИН ГЛ. VIII
/О 1\ /О -г\ ^ /1 О \
= (д о) ' °у = ^ О J ' °* = (о -lj
где1)
Матрицы E5.7) называют матрицами Паули. Матрица s^ = —
диагональна, как и должно быть для матрицы, определенной по
собственным функциям самой величины sz2).
Отметим некоторые специфические свойства матриц Паули.
Непосредственно перемножая матрицы E5.7), получим равен-
ства
Jl=^ = 'i = \, _ E5.8)
Комбинируя их с общими правилами коммутации E4.1), найдем,
что
дгдк+дкдг = 26ik, E5.9)
т. е. матрицы Паули антикоммутативны. С помощью этих ра-
венств легко убедиться в справедливости следующих полезных
формул:
а2 = 3, (oa)(ob) = ab + io[ab], E5.10)
где а и b — два произвольных вектора3). В силу этих соотноше-
ний всякое скалярное полиномиальное выражение, составленное
из матриц Э{, сводится к не зависящим от а членам и членам пер-
вой степени по о; отсюда следует, что всякая вообще скалярная
функция оператора а сводится к линейной функции (см. зада-
чу 1). Наконец, отметим значения следов (сумм диагональных
компонент) матриц Паули и их произведений:
E5.11)
Х)В записи матриц в виде E5.7) строки и столбцы нумеруются значе-
ниями сг, причем номер строки соответствует первому, а номер столбца —
второму индексу матричного элемента. В данном случае эти номера про-
бегают значения +1/2, —1/2. Действие оператора, согласно E5.4), означает
перемножение сг-й строки матрицы с компонентами волновой функции, рас-
положенными в столбик
(
2) Обозначение проекции спина и матриц Паули одинаковой буквой не мо-
жет повлечь недоразуменения: матрицы Паули снабжены крышечкой над
буквой.
3) Не зависящие от а члены в правых частях равенств E5.8)-E5.10) надо,
конечно, понимать как константы, умноженные на единичную двухрядную
матрицу.
§ 55 ОПЕРАТОР СПИНА 257
Подробному изучению спиновых свойств волновых функций,
в том числе их поведения при произвольных вращениях систе-
мы координат, посвящены следующие параграфы этой главы. Но
уже здесь сразу лее отметим важное свойство этих функций —
поведение относительно поворотов вокруг оси z.
Произведем бесконечно малый поворот на угол бер вокруг оси
z. Оператор такого поворота выражается с помощью оператора
момента (в данном случае — спина) в виде 1 + iS(p^sz. Поэтому в
результате поворота функции ф(сг) перейдут в ф(сг) + 5ф(а), где
Sip (a) = iS(ps'zip(a) = iaip(cr)S(p.
Переписав это соотношение в виде dip /dip = icrip{a) и интегрируя,
находим, что при повороте на конечный угол <р функции ip(cr)
перейдут в функции
ф(а)' = ф(а)е^. E5.12)
В частности, при повороте на угол 2тг они умножаются на мно-
житель е2?ггсг , одинаковый для всех а и равный (—IJ5 (число 2<т
всегда имеет ту же четность, что и 2s). Таким образом, при пол-
ном повороте системы координат вокруг оси z волновые функции
частицы с целым спином возвращаются к своему первоначально-
му значению, а волновые функции частиц с полу целым спином
меняют свой знак.

Ви переглядаєте статтю (реферат): «Оператор спина» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»

Заказать диплом курсовую реферат
Реферати та публікації на інші теми: ПРАКТИКА ВИКОРИСТАННЯ РІЗНИХ ФОРМ ФІНАНСОВОЇ САНАЦІЇ НА ПРИКЛАДІ ...
Поняття телекомунікаційної системи. Етапи розвитку телекомунікаці...
Порядок збільшення статутного капіталу на основі додаткової емісі...
Оцінка ймовірності та здійснюваності інвестиційного проекту
СТАНОВЛЕННЯ ЦЕНТРАЛЬНОГО БАНКУ В УКРАЇНІ


Категорія: Теоретична фізика у 10 томах | Додав: koljan (26.11.2013)
Переглядів: 667 | Рейтинг: 0.0/0
Всього коментарів: 0
Додавати коментарі можуть лише зареєстровані користувачі.
[ Реєстрація | Вхід ]

Онлайн замовлення

Заказать диплом курсовую реферат

Інші проекти




Діяльність здійснюється на основі свідоцтва про держреєстрацію ФОП