Как в классической, так и в квантовой механике закон со- хранения момента возникает как результат изотропии простран- ства по отношению к замкнутой системе. У лее в этом проявля- ется связь момента со свойствами симметрии по отношению к вращениям. Но в квантовой механике эта связь становится в особенности глубокой, делаясь по существу основным содержа- нием понятия о моменте, тем более, что классическое определе- ние момента частицы как произведения [гр] теряет здесь свой непосредственный смысл в виду одновременной неизмеримости радиуса-вектора и импульса. Мы видели в § 28, что задание значений / и т определя- ет угловую зависимость волновой функции частицы, а тем са- мым— все ее свойства симметрии по отношению к вращениям. В наиболее общем виде формулировка этих свойств сводится к ука- занию закона преобразования волновых функций при поворотах системы координат. Неизменной1) волновая функция фьм системы частиц (с за- данными значениями момента L и его проекции М) остается лишь при повороте системы координат вокруг оси z. Всякий же поворот, меняющий направление оси z, приводит к тому, что проекция момента на ось z уже не будет иметь определенного значения. Это значит, что в новых координатных осях волновая функция превратится, вообще говоря, в суперпозицию (линей- ную комбинацию) 2L + 1 функций, отвечающих различным воз- можным (при заданном L) значениям М. Можно сказать, что при поворотах системы координат 2L + 1 функций фьм преоб- разуются друг через друга2). Закон этого преобразования, т.е. коэффициенты суперпозиции (как функции углов поворота ко- г) С точностью до несущественного фазового множителя. 2)По математической терминологии, эти функции осуществляют собой так называемые неприводимые представления группы вращений. Число преобразующихся друг через друга функций называют размерностью пред- ставления, причем предполагается, что это число не может быть уменьшено никаким выбором каких-либо других линейных комбинаций этих функций. 250 СПИН ГЛ. VIII ординатных осей), полностью определяется заданием значения L. Таким образом, момент приобретает смысл квантового числа, классифицирующего состояния системы по их трансформацион- ным свойствам по отношению к вращениям системы координат. Этот аспект понятия момента в квантовой механике в особенно- сти существен в связи с тем, что он не связан непосредственно с явной зависимостью волновых функций от углов; закон их пре- образования друг через друга может быть сформулирован сам по себе, без ссылки на эту зависимость. Рассмотрим сложную частицу (скажем, атомное ядро), по- коящуюся как целое и находящуюся в определенном внутрен- нем состоянии. Помимо определенной внутренней энергии она обладает также и определенным по своей величине L моментом, связанным с движением частиц внутри нее; этот момент может еще иметь 2L + 1 различных ориентации в пространстве. Други- ми словами, при рассмотрении движения сложной частицы как целого мы должны, наряду с ее координатами, приписывать ей еще и одну дискретную переменную — проекцию ее внутренне- го момента на некоторое избранное направление в пространстве. Но при указанном выше понимании смысла момента стано- вится несущественным вопрос о его происхождении, и мы при- ходим естественным образом к представлению о «собственном» моменте, который должен быть приписан частице вне зависи- мости от того, является ли она «сложной» или «элементарной». Таким образом, в квантовой механике элементарной части- це следует приписывать некоторый «собственный» момент, не связанный с ее движением в пространстве. Это свойство элемен- тарных частиц является специфически квантовым (исчезающим при переходе к пределу h —>> 0) и поэтому принципиально не допускает классической интерпретацииг). Собственный момент частицы называют ее спином, в отличие от момента, связанного с движением частицы в пространстве, о котором говорят как об орбитальном моменте2). Речь может идти при этом как об элементарной частице, так и о частице, хотя и составной, но ведущей себя в том или ином рассматри- ваемом круге явлений как элементарная (например, об атомном ядре). Спин частицы (измеренный, как и орбитальный момент, в единицах К) будем обозначать буквой s. ) В частности было бы совершенно бессмысленным представлять себе «собственный» момент элементарной частицы как результат ее вращения «вокруг своей оси». ) Физическая идея о наличии у электрона собственного момента была вы- сказана Уленбеком и Гаудсмитом (G. Uhlenbeck, S. Goudsmit, 1925). В кван- товую механику спин был введен Паули (W. Pauli, 1927). §54 спин 251 Для частиц, обладающих спином, описание состояния с по- мощью волновой функции должно определять не только вероят- ности ее различных положений в пространстве, но и вероятности различных возможных ориентации ее спина. Другими словами, волновая функция должна зависеть не только от трех непрерыв- ных переменных — координат частицы, но и от одной дискретной спиновой переменной, указывающей значение проекции спина на некоторое избранное направление в пространстве (ось z) и пробе- гающей ограниченное число дискретных значений (которые мы будем обозначать далее буквой а). Пусть ф(х,у, z;a) — такая волновая функция. По существу она представляет собой совокупность нескольких различных функций координат, отвечающих различным значениям <т; об этих функциях мы будем говорить как о спиновых компонентах волновой функции. При этом интеграл l>{x,y,z;<r)\2dV определяет вероятность частице иметь определенное значение а. Вероятность же частице находиться в элементе объема dV, имея произвольное значение сг, есть Квантовомеханический оператор спина при применении его к волновой функции действует именно на спиновую перемен- ную а. Другими словами, он каким-то образом преобразует друг через друга компоненты волновой функции. Вид этого опе- ратора будет установлен ниже. Но, уже исходя из самых об- щих соображений, легко убедиться в том, что операторы s^, 5^, s~z удовлетворяют таким же условиям коммутации, как и операторы орбитального момента. Оператор момента в основном совпадает с оператором бес- конечно малого поворота. При выводе в § 26 выражения для оператора орбитального момента мы рассматривали результат применения операции поворота к функции координат. В случае спинового момента такой вывод теряет смысл, поскольку опера- тор спина действует на спиновую переменную, а не на координа- ты. Поэтому для получения искомых соотношений коммутации мы должны рассматривать операцию бесконечно малого поворо- та в общем виде, как поворот системы координат. Производя по- следовательно бесконечно малые повороты вокруг оси х и оси у, а затем вокруг этих же осей в обратном порядке, легко убедить- ся непосредственным вычислением, что разница между резуль- татами обеих этих операций эквивалентна бесконечно малому 252 СПИН ГЛ. VIII повороту вокруг оси z (на угол, равный произведению углов по- ворота вокруг осей х л у). Мы не станем производить здесь этих простых вычислений, в результате которых вновь получаются обычные соотношения коммутации между операторами компо- нент момента импульса, которые, следовательно, должны иметь место и для операторов спина: {$y^z} = isx, {szi'sx} = isy, {sx,'$y} = isz E4.1) со всеми вытекающими из них физическими следствиями. Соотношения коммутации E4.1) дают возможность опре- делить возможные значения абсолютной величины и компо- нент спина. Весь вывод, произведенный в § 27 (формулы B7.7)- B7.9)), был основан только на соотношениях коммутации и потому полностью применим и здесь; надо только вместо L в этих формулах подразумевать s. Из формул B7.7) следует, что собственные значения проекции спина образуют последователь- ность чисел, отличающихся на единицу. Мы не можем, однако, теперь утверждать, что сами эти значения должны быть целы- ми, как это имело место для проекции Lz орбитального момента (приведенный в начале § 27 вывод здесь неприменим, поскольку он основан на выражении B6.14) для оператора lz, специфиче- ском для орбитального момента). Далее, последовательность собственных значений sz ограни- чена сверху и снизу значениями, одинаковыми по абсолютной величине и противоположными по знаку, которые мы обозначим через ±5. Разность 2s между наибольшим и наименьшим значе- ниями sz должна быть целым числом или нулем. Следовательно, число s может иметь значения 0,1/2,1,3/2,... Таким образом, собственные значения квадрата спина равны s2 = 5E + 1), E4.2) где s может быть либо целым числом (включая значение нуль), либо полуцелым. При заданном s компонента sz спина может пробегать значения 5, s — 1,..., —s — всего 25 + 1 значений. Со- ответственно этому, и волновая функция частицы со спином s имеет 25 + 1 компонент1). Опыт показывает, что большинство элементарных частиц — электроны, позитроны, протоны, нейтроны, /i-мезоны и все х) Поскольку s есть для каждого рода частиц заданное число, то при пре- дельном переходе к классической механике (К —>> 0) спиновый момент Hs обращается в нуль. Для орбитального момента такое рассуждение не имеет смысла, поскольку I может иметь произвольные значения. Переходу к клас- сической механике соответствует одновременное стремление Н к нулю и I к бесконечности, так что произведение Ш остается конечным. § 54 спин 253 гипероны (Л, Е, S) — обладают спином 1/2. Кроме того, суще- ствуют элементарные частицы—тг-мезоны и Х-мезоны,— обла- дающие спином 0. Полный момент импульса частицы складывается из ее орби- тального момента 1 и спина s. Их операторы, действуя на функ- ции совершенно различных переменных, разумеется, коммута- тивны друг с другом. Собственные значения полного момента j = l + s E4.3) определяются тем лее правилом «векторной модели», что и сум- ма орбитальных моментов двух различных частиц (§31). Имен- но, при заданных значениях I и s полный момент может иметь значения / + s, / + s — 1,..., \l — s\. Так, у электрона (спин 1/2) с отличным от нуля орбитальным моментом / полный момент мо- жет быть равен j = I ±1/2; при / = 0 момент j имеет, конечно, лишь одно значение j = 1/2. Оператор полного момента J системы частиц равен сумме операторов моментов j каждой из них, так что его значения опре- деляются снова правилами векторной модели. Момент J можно представить в виде J = L + S, L = J]le, S = J>a, E4.4) где S можно назвать полным спином, a L — полным орбитальным моментом системы. Отметим, что если полный спин системы—полуцелый (или целый), то то же самое будет иметь место и для полного момен- та, поскольку орбитальный момент всегда целый. В частности, если система состоит из четного числа одинаковых частиц, то ее полный спин во всяком случае целый, а потому будет целым и полный момент. Операторы полного момента частицы j (или системы ча- стиц J) удовлетворяют тем же правилам коммутации, что и операторы орбитального момента или спина, поскольку эти пра- вила являются вообще общими правилами коммутации, справед- ливыми для всякого момента импульса. Следующие из правил коммутации формулы B7.13) для матричных элементов момен- та тоже справедливы для всякого момента, если матричные эле- менты определять по отношению к собственным функциям это- го же момента. Остаются справедливыми (с соответствующим изменением обозначений) также и формулы B9.7)-B9.10) для матричных элементов произвольных векторных величин. 254 СПИН ГЛ. VIII Задача Частица со спином 1/2 находится в состоянии с определенным значением sz = 1/2. Определить вероятности возможных значений проекции спина на ось z', наклоненную под углом 0 к оси z. Решение. Средний вектор спина s направлен, очевидно, по оси z и равен по величине 1/2. Проецируя его на ось z, найдем, что среднее значе- ние спина в направлении z есть ~szi = A/2) cos в. С другой стороны, имеем ~§z, = (l/2)(w+ — W-), где w± — вероятности значений sz> = ±1/2. Учитывая также, что w+ + W- = 1, найдем w+ = cos2F>/2), w- = sin2F>/2).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Спин» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
