Точное решение уравнения Шредингера может быть найде- но лишь в сравнительно небольшом числе простейших случаев. Большинство задач квантовой механики приводит к слишком сложным уравнениям, которые не могут быть решены точным образом. Часто, однако, в условиях задачи фигурируют вели- чины разного порядка; среди них могут оказаться малые вели- чины, после пренебрежения которыми задача упрощается на- столько, что делается возможным ее точное решение. В таком случае первый шаг в решении поставленной физической зада- чи состоит в точном решении упрощенной задачи, а второй — в приближенном вычислении поправок, обусловленных малыми членами, отброшенными в упрощенной задаче. Общий метод для вычисления этих поправок называется теорией возмущений. Предположим, что гамильтониан данной физической систе- мы имеет вид Н = #о + V, где V представляет собой малую поправку (возмущение) к «не- возмущенному» оператору Hq. В §38, 39 мы будем рассматри- вать возмущения V", не зависящие явно от времени (то же самое предполагается и в отношении Hq). Условия, необходимые для того, чтобы можно было рассматривать оператор V как «ма- лый» по сравнению с оператором Hq, будут выяснены ниже. Задача теории возмущений для дискретного спектра мо- жет быть сформулирована следующим образом. Предполага- ется, что собственные функции фп ' и собственные значения оператора Hq известны, т. е. известны точные решения уравне- ния Я0</>@)=?@?0)- C8.1) Требуется найти приближенные решения уравнения Щ = (#0 + У)ф = Еф, C8.2) 172 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ГЛ. VI т. е. приближенные выражения для собственных функций фп и значений Еп возмущенного оператора Н. В этом параграфе мы будем предполагать, что все собствен- ные значения оператора Н$ не вырождены. Кроме того, для упрощения выводов будем считать сначала, что имеется толь- ко дискретный спектр уровней энергии. Вычисления удобно производить с самого начала в матрич- ном виде. Для этого разложим искомую функцию ф по функци- ,(о) ям ^;: ^_ .. Е40) C8.3) Подставляя это разложение в C8.2), получим а умножив это равенство с обеих сторон на фк и интегрируя, найдем C8.4) Здесь введена матрица Vkra оператора возмущения У, опре- деленная с помощью невозмущенных функций фт : Vkm = j^'v^dq. C8.5) Будем искать значения коэффициентов ст и энергии Е в виде рядов где величины Е^\ с\п —того же порядка малости, что и возму- щение У, величины Е^\ с\п —второго порядка малости, и т.д. Определим поправки к n-му собственному значению и соб- ственной функции, соответственно чему полагаем: Сп = 1, Cm = 0, т ф п. Для отыскания первого приближения подставим в уравнение C8.4) Е = Еп + Еп\ с/~ = с^ + &к\ сохранив только члены первого порядка. Уравнение с к = п дает C8.6) § 38 ВОЗМУЩЕНИЯ, НЕ ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВРЕМЕНИ 173 Таким образом, поправка первого приближения к собственному значению Еп равна среднему значению возмущения в состоя- /@) нии фп . Уравнение C8.4) с к ф п дает а сп остается произвольным и оно должно быть выбрано так, чтобы функция фп = Фп + Фп была нормирована с точностью до членов первого порядка включительно. Для этого надо поло- жить сп =0. Действительно, функция 'fe C8-8) (штрих у знака суммы означает, что при суммировании по т надо опустить член с т = п) ортогональна к ф^ а поэтому инте- грал от \фп + фп отличается от единицы лишь на величину второго порядка малости. Формула C8.8) определяет поправку первого приближения к волновым функциям. Из нее, кстати, видно, каково условие применимости рассматриваемого метода. Именно, должно иметь место неравенство \Vmn\<&\EW-Eg)\, C8.9) т. е. матричные элементы возмущения должны быть малы по сравнению с соответствующими разностями невозмущенных уровней энергии. Определим еще поправку второго приближения к собствен- ному значению Еп . Для этого подставляем в C8.4) Е = Еп ' + + Еп +Еп\ Ck = (Ук + (Ук + (Ук и рассматриваем члены второго порядка малости. Уравнение с к = п дает откуда (мы подставили с\п из C8.7) и воспользовались тем, что в силу эрмитовости оператора V: Vmn = V^m). 174 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ГЛ. VI Отметим, что поправка второго приближения к энергии нор- мального состояния всегда отрицательна. Действительно, если Еп соответствует наименьшему значению, то все члены в сум- ме C8.10) отрицательны. Дальнейшие приближения можно вычислить аналогичным образом. Полученные результаты непосредственно обобщаются на случай наличия у оператора Hq также и непрерывного спек- тра (причем речь идет по-прежнему о возмущенном состоянии дискретного спектра). Для этого надо только к суммам по дис- кретному спектру прибавить соответствующие интегралы по непрерывному спектру. Будем отличать различные состояния непрерывного спектра индексом z/, пробегающим непрерывный ряд значений; под v условно подразумевается совокупность зна- чений величин, достаточных для полного определения состояния (если состояния непрерывного спектра вырождены, что почти всегда и бывает, то задания одной только энергии недостаточно для определения состоянияI). Тогда, например, вместо C8.8) надо будет писать + Г J и аналогично для других формул. Полезно привести также формулу для возмущенных значе- ний матричных элементов какой-либо физической величины /, вычисленных с точностью до членов первого порядка с помо- щью функций фп = фп + фп с фп из C8.8). Легко получить следующее выражение: / Т/ J?@) / тг л@) ? /@) _|_ \ л VnkJkm _|_ \ л Vkmjnk /«о 1<л\ Jnm - Jnm "t- 2_^ F@) „(о) "+" Z^ F(o) -(о) ' ^O.IZJ В первой сумме к ф п, а во второй к ф т.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Возмущения, не зависящие от времени» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
