Заданием значений / и т волновая функция частицы не опре- деляется полностью. Это видно уже из того, что выражения для операторов этих величин в сферических координатах содер- жат только углы в и (/?, так что их собственные функции могут содержать произвольный, зависящий от г множитель. Мы бу- дем рассматривать здесь только характерную для собственных функций момента угловую часть волной функции. Обозначим ее как Y/m@, (р) и нормируем условием: J\Ylm\2do=l (do = sin в d6 dip — элемент телесного угла). Как показывают дальнейшие вычисления, задача об опреде- лении общих собственных функций операторов 1 и lz допускает разделение переменных в и <р, и эти функции можно искать в виде Ylm = Фт(<р)в1т(е), B8.1) где Фш (</?) — собственные функции оператора lz, определяемые формулой B7.3). Поскольку функции Фт уже нормированы условием B7.4), то О/ш должны быть нормированы согласно условию \@lm\2 sin6d6 = 1. B8.2) о Функции У\ш с различными / или т автоматически оказыва- ются взаимно ортогональными: 2тг тг УутЪт sin eded<p = Su,Smm,, B8.3) о о 2тг тг j j 122 МОМЕНТ ИМПУЛЬСА ГЛ. IV как собственные функции операторов момента, соответствую- щие различным собственным значениям. В отдельности орто- гональны также и функции Фт((р) (см. B7.4)) как собствен- ные функции оператора lz, соответствующие различным его соб- ственным значениям т. Функции лее ®im(9) сами по себе не яв- ляются собственными функциями какого-либо из операторов мо- мента; они взаимно ортогональны при различных /, но не при различных т. Наиболее прямой способ вычисления искомых функций есть непосредственное решение задачи об отыскании собственных функций оператора 1 , написанного в сферических координатах (формула B6.16)). Уравнение гф = 12ф гласит: sinOdO Подставив в это уравнение ф в виде B8.1), получим для функ- ции О/ш уравнение ) ^ + 1A + l)@lm = 0. B8.4) sin в dO \ dO J sin 0 Это уравнение хорошо известно из теории шаровых функций. Оно имеет решения, удовлетворяющие условиям конечности и однозначности, при целых положительных значениях / ^ |т|, в согласии с полученными выше матричным методом собствен- ными значениями момента. Соответствующие решения представ- ляют собой так называемые присоединенные полиномы Лежанд- ра P/m(cos^) (см. §с математических дополнений). Нормируя ре- шение условием B8.2), получим1) ). B8.5) Здесь предполагается, что m ^ 0. Для отрицательных m опре- делим @im соотношением ®l,-\m\ = (-1Г&1\т\, B8.6) т.е. @im с m < 0 дается формулой B8.5), в которой надо напи- \\ () сать \т вместо т и опустить множитель (—1) х) Выбор фазового множителя, разумеется, не определяется условием нор- мировки. Определение, которым мы будем пользоваться в этой книге, наи- более естественно с точки зрения общей теории сложения моментов: оно отличается от обычно применяемого множителем il. Преимущества такого выбора будут очевидны из примеч. на с. 278, 527, 533. § 28 СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ МОМЕНТА 123 Таким образом, собственные функции момента оказывают- ся, с математической точки зрения, определенным образом нор- мированными сферическими функциями. Выпишем, для удоб- ства дальнейших ссылок, полное их выражение, учитывающее все указанные определения: Ylm[0,<p) = (-1)<™+Н)/2< B8.7) В частности, \p±± B8.8) Очевидно, что функции, отличающиеся знаком т, связаны друг с другом соотношениями (-l)l-mYlt.m = Yl*m. B8.9) При 1 = 0 (так что и т = 0) шаровая функция сводится к постоянной. Другими словами, волновые функции состояний частицы с равным нулю моментом зависят только от г, т. е. об- ладают полной шаровой симметрией— в соответствии со сде- ланным в § 27 общим утверждением. При заданном т значения /, начинающиеся с |т|, нумеру- ют последовательные собственные значения величины I2 в по- рядке их возрастания. Поэтому на основании общей теоремы о нулях собственных функций (§21) мы приходим к выводу, что функция О/ш обращается в нуль при I — \т\ различных значени- ях угла 9] другими словами, она имеет в качестве узловых ли- ний / — \т\ «кругов широт» шара. Что касается полных угловых функций, то, если выбрать их с вещественными множителями cosmcp или smmcp вместо e±l\mW^ ? Они будут иметь в качестве узловых линий еще \т\ «меридианных кругов»; общее число уз- ловых линий будет, таким образом, равно /. Наконец, покажем, каким образом можно вычислить функ- ции в/ш матричным методом. Это делается аналогично тому, как были вычислены в § 23 волновые функции осциллятора. Ис- ходим из равенства B7.8) Z+У// = 0. Воспользовавшись выраже- нием B6.15) для оператора Z+ и подставляя У„ = J Z7T ^Каждая такая функция соответствует состоянию, в котором lz не име- ет определенного значения, а может иметь, с равной вероятностью, значе- ния ±га. 124 МОМЕНТ ИМПУЛЬСА ГЛ. IV получаем для г)// уравнение откуда @ц = const • sin в. Определив постоянную из условия нор- мировки, получим B8.10) Далее, используя B7.12), пишем -т)A + т+ 1)У/Ш. Повторное применение этой формулы дает /(I -m)\ v _ 1 Ъ-ту yW^v 1т~7Ш. и' Вычисление правой части равенства легко производится с помо- щью выражения B6.15) для оператора /_, согласно которому Т rff#Wm^l J(m-l)(^n; l-ffl/i d ( ? „• m q\ I \J 1G Ic I — о olll U \J bill "y* dcos 0 Повторное применение этой формулы дает ?-"V'?>eH = eim* sin" в ***"" (sin* б • ви). (c/cos^j Наконец, используя эти соотношения и выражение B8.10) для в//, получим формулу 21 совпадающую с B8.5).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Собственные функции момента» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
