Описание системы с помощью волновой функции соответ- ствует наиболее полному возможному в квантовой механике опи- санию— в смысле, указанном в конце § 1. С состояниями, не допускающими такого описания, мы столкнемся, рассмотрев систему, являющуюся частью некото- рой большей замкнутой системы. Предположим, что замкнутая система в целом находится в некотором состоянии, описывае- мом волновой функцией Ф(д,ж), где х обозначает совокупность координат рассматриваемой системы, a q— остальные коор- динаты замкнутой системы. Эта функция, вообще говоря, от- нюдь не распадается на произведение функций только от ж и 62 ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС ГЛ. II только от д, так что система не обладает своей волновой функ- цией г). Пусть / есть некоторая физическая величина, относящаяся к нашей системе. Ее оператор действует поэтому только на ко- ординаты ж, но не на q. Среднее значение этой величины в рас- сматриваемом состоянии есть A4.1) Введем функцию p(x,xf), определяемую соотношением р(х, х') = J Щд, ж)Ф*(</, х1) dq, A4.2) где интегрирование производится только по координатам q\ ее называют матрицей плотности системы. Из определения A4.2) очевидно, что она обладает свойством «эрмитовости» р*{х,х') = р(х',х). A4.3) «Диагональные элементы» матрицы плотности р(х,х)= / \V(q,x)\2dq определяют распределение вероятности для координат системы. С помощью матрицы плотности среднее значение / молено написать в виде J = j[fp{x,x')]x,=xdx. A4.4) Здесь / действует в функции р(ж, х1) только на переменные х\ после вычисления результата воздействия надо положить х1 = х. Мы видим, что, зная матрицу плотности, можно вычислить среднее значение любой величины, характеризующей систему. Отсюда следует, что с помощью p(x,xf) можно определить так- же и вероятности различных значений физических величин системы. Таким образом, состояние системы, не обладающей волновой функцией, может быть описано матрицей плотности. Матрица плотности не содержит координат д, не относящихся ) Для того чтобы Ф(<7, ж) распалось (в данный момент времени) на та- кое произведение, измерение, в результате которого было создано данное состояние, должно полным образом описывать рассматриваемую систему и остальную часть замкнутой системы в отдельности. Для того же чтобы Ф(д, ж) продолжало иметь такой вид в будущие моменты времени, необходи- мо также, чтобы эти части замкнутой системы не взаимодействовали друг с другом (см. §2). Ни то, ни другое нами теперь не предполагается. § 14 МАТРИЦА ПЛОТНОСТИ 63 к данной системе, хотя, разумеется, по существу зависит от со- стояния замкнутой системы в целом. Описание с помощью матрицы плотности является наиболее общей формой квантовомеханического описания систем. Описа- ние же с помощью волновой функции является частным случа- ем, отвечающим матрице плотности вида р{х,х') = Ф(ж)Ф*(ж7). Между этим частным случаем и общим случаем имеется сле- дующее важное различие. Для состояния, обладающего вол- новой функцией (такое состояние называют чистым), всегда существует такая полная система измерительных процессов, ко- торые приводят с достоверностью к определенным результатам (математически это означает, что Ф есть собственная функция какого-либо оператора). Для состояний же, обладающих лишь матрицей плотности (их называют смешанными), не существует полной системы измерений, которые приводили бы к однозначно предсказуемым результатам. Предположим, что рассматриваемая система замкнута или стала таковой, начиная с некоторого момента времени; выведем уравнение, определяющее изменение ее матрицы плотности со временем, аналогичное волновому уравнению для Ф-функции. Вывод можно упростить, заметив, что искомое линейное диф- ференциальное уравнение для р(х, х1, t) должно удовлетворяться и в том частном случае, когда система обладает волновой функ- цией, т. е. Дифференцируя по времени и воспользовавшись волновым урав- нением (8.1), имеем dt У ' J dt V ' ' dt где Н — гамильтониан системы, действующий на функции от ж, а Н1 — тот же оператор, действующий на функции от х1. Функ- ции Ф*(ж;,?) и Ф(ж,?) можно ввести под знаки операторов соот- ветственно В. и Н', и, таким образом, получим искомое уравне- гПдр{хдХ^1) = (H-H'*)p(x,x',t). A4.5) Пусть Фп(ж,?)— волновые функции стационарных состоя- ний системы, т. е. собственные функции гамильтониана. Раз- ложим матрицу плотности по этим функциям; разложение 64 ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС ГЛ. II представляет собой двойной ряд p(x,x',t) = ^к ~Em)t)- Это разложение играет для матрицы плотности роль, аналогич- ную роли разложения A0.3) для волновых функций. Вместо со- вокупности коэффициентов ап мы имеем здесь двойную совокуп- ность коэффициентов атп. Эти величины обладают, очевидно, как и сама матрица плотности, свойством эрмитовости апт = атп. A4.7) Для среднего значения некоторой величины / имеем, подставляя A4.6) в A4.4): Ф* (ж,*)/Фт(ж, t) dx, или A4.8) где fnm — матричные элементы величины /. Это выражение ана- логично формуле A1.1)х). Величины ашп должны удовлетворять определенным нера- венствам. «Диагональные элементы» р(ж,ж) матрицы плотно- сти, определяющие распределение вероятности для координат, должны, очевидно, быть величинами положительными. Из вы- ражения A4.6) (с х' = х) поэтому следует, что построенная на коэффициентах атп квадратичная форма вида / ; / ; атп^п^гп п т (где ?п — произвольные комплексные величины) должна быть су- щественно положительной. Это накладывает на величины атп известные из теории квадратичных форм условия. В частности, должны быть положительными все диагональные элементы апп > 0, A4.9) 1) Величины птп составляют матрицу плотности в энергетическом пред- ставлении. Описание состояний системы с помощью такой матрицы было введено независимо Ландау и Б лохом (F. Block) в 1927 г. § 15 импульс 65 а каждые три величины ann, amm, атп должны удовлетворять неравенству «Чистому» случаю, в котором матрица плотности сводится к произведению функций, соответствует матрица атп вида Укажем простой критерий, позволяющий легко определить по матрице ашп имеем ли мы дело с «чистым» или «смешанным» состоянием. В чистом случае имеем а )шп = 2_^ ^тк^кп = 2_^ °*кат°*пак = «т^* /^ к к к ИЛИ (а2)тп = «шп, A4.12) т. е. квадрат матрицы плотности совпадает с ней самой.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Матрица плотности» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
