Предположим для удобства, что рассматриваемая система обладает дискретным энергетическим спектром (все получаемые ниже соотношения непосредственным образом обобщаются и на случай непрерывного спектра). Пусть Ф = ^апФп есть разло- жение произвольной волновой функции по волновым функци- ям Фп стационарных состояний. Если подставить это разложение в определение C.8) среднего значения некоторой величины /, то получим fnrnif) обозначают интегралы fnm(t) = fv*nfVmdq. A1.2) Совокупность величин fnm(t) со всеми возможными n, m назы- вают матрицей величины /, а о каждом из fnm(t) говорят как о матричном элементе, соответствующем переходу из состоя- ния т в состояние п2). Зависимость матричных элементов fnm(t) от времени опре- деляется (если оператор / не содержит t явно) зависимостью от времени функций Фп. Подставляя для них выражения A0.1), г) Заметим, что для функции Ф, представляющей собой суперпозицию функций дискретного спектра, было бы - Еп)Лфпф*т = ^ \апфп(д)\\ > п т. е. плотность вероятности остается при усреднении по времени конечной. 2) Матричное представление физических величин было введено Гейзенбер- гом (W. Heisenberg) в 1925 г., еще до открытия Шредингером волнового уравнения. «Матричная механика» была затем развита Борном, Гейзенбер- гом и Иорданом (М. Born, P. Jordan). 52 ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС ГЛ. II найдем, что fnm(t) = fnmeiuJnmt, A1.3) где Ыпт = A1-4) а есть частота перехода между состояниями п и т, а величины fnm = / ^nf^mdq A1.5) составляют не зависящую от времени матрицу величины /, ко- торой обычно и приходится пользоватьсях). Матричные элементы производной / получаются дифферен- цированием по времени матричных элементов величины /; это следует непосредственно из того, что Ввиду A1.3) имеем, таким образом, для матричных элементов /: fnm(t) = iuJnmfnm(t) A1.7) или (сокращая с обеих сторон временной множитель exp(icjnmt)) для не зависящих от времени матричных элементов: (f)nm — i^nmfnm = ~(^п ~ Em)fnm. A1.8) а В целях упрощения обозначений в формулах мы выводим ни- же все соотношения для не зависящих от времени матричных элементов; в точности такие же соотношения имеют место и для зависящих от времени матриц. Для матричных элементов комплексно сопряженной с / вели- чины /* с учетом определения сопряженного оператора получим (Ппт = I Ф*п7+Фт dq = I ф*п?*Фт dq = т.е. (Ппт = AтпУ. (И.9) х) В связи с неопределенностью фазового множителя в нормированных волновых функциях (см. § 2) матричные элементы fnrn (и /nm(t)) тоже опре- делены лишь с точностью до множителей вида ехр[г(скт — ап)]. И здесь эта неопределенность не отражается на физических результатах. § 11 МАТРИЦЫ 53 Для вещественных физических величин, которые мы обычно только и рассматриваем, имеем, следовательно, fnm = Гтп A1-Ю) (fmn стоит вместо (fmn)*)- Такие матрицы, как и соответствую- щие им операторы, называют эрмитовыми. Матричные элементы с п = т называют диагональными. Эти элементы вообще не зависят от времени, а из A1.10) ясно, что они вещественны. Элемент fnn представляет собой среднее зна- чение величины / в состоянии фп. Нетрудно получить правило умножения матриц. Для этого заметим предварительно, что имеет место формула mrW>m- A1-И) Это есть не что иное, как разложение функции fipn по функ- циям фт с коэффициентами, определяемыми согласно общему правилу C.5). Имея в виду эту формулу, запишем для результа- та воздействия на функцию фп произведения двух операторов: к к k,m Поскольку, с другой стороны, должно быть m то мы приходим к результату, что матричные элементы произ- ведения fg определяются формулой (fg)mn = ^2 fmkgkw С11-12) к Это правило совпадает с принятым в математике правилом пе- ремножения матриц: строки первой в произведении матрицы пе- ремножаются со столбцами второй. Задание матрицы эквивалентно заданию самого оператора. В частности, оно позволяет в принципе определить собственные значения данной физической величины и соответствующие им собственные функции. Будем рассматривать значения всех величин в некоторый определенный момент времени и разложим произвольную вол- новую функцию Ф (в этот момент времени) по собственным функциям гамильтониана, т. е. по не зависящим от времени вол- новым функциям фт стационарных состояний: ш^т, A1-13) 54 ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС ГЛ. II где коэффициенты разложения обозначены через ст. Подставим это разложение в уравнение /Ф = /Ф, определяющее собствен- ные значения и собственные функции величины /. Имеем Ст(/Фт) = Умножим это уравнение с обеих сторон на ф!^ и проинтегрируем по dq. Каждый из интегралов f ф^/Фт^д в левой части равен- ства есть соответствующий матричный элемент fnrn. В правой же части все интегралы J ф^фт dq с т ф п исчезают в силу ортогональности функций фт, a f ф^фп dq = 1 в силу их норми- ровки г) ИЛИ = /Ста, (П-14) m где О, пфт, 15 п = т. Таким образом, мы получили систему алгебраических одно- родных уравнений первой степени (с неизвестными ст). Как из- вестно, такая система обладает отличными от нуля решениями лишь при условии обращения в нуль определителя, составленно- го из коэффициентов в уравнениях, т. е. при условии \fnrn ~ fSnm\ = 0. A1.15) Корни этого уравнения (в котором / рассматривается как неиз- вестное) и представляют собой возможные значения величи- ны /. Совокупность же величин ст, удовлетворяющих уравнени- ям A1.14) с /, равным какому-либо из этих значений, определяет соответствующую собственную функцию. ) В соответствии с общим правилом (§5) совокупность коэффициентов сп разложения A1.13) можно рассматривать как волновую функцию в «энерге- тическом представлении» (причем переменной является индекс п, нумерую- щий собственные значения энергии). Матрица же fnm играет при этом роль оператора / в этом представлении, действие которого на волновую функ- цию определяется выражением в левой части уравнения A1.14). Формула / = 5^2 cn(fnmCm) соответствует тогда общему выражению среднего зна- чения величины через ее оператор и волновую функцию данного состояния. § 11 МАТРИЦЫ 55 Если в определении A1.5) матричных элементов величины / взять в качестве фп собственные функции этой же величины, то в силу уравнения fipn = fnipn будем иметь fnm = / ФпТФш dq = fm фпфт dq. Ввиду ортогональности и нормировки функций фш это дает fnm = 0 при п ф m и fmm = fm. Таким образом, оказываются отличными от нуля только диагональные матричные элементы, причем каждый из них равен соответствующему собственному значению величины /; о матрице, у которой отличны от нуля лишь эти элементы, говорят, как о приведенной к диагональ- ному виду. В частности, в обычном представлении, с волновы- ми функциями стационарных состояний в качестве функций фп диагональна матрица энергии (а также матрицы всех других физических величин, которые имеют в стационарных состоя- ниях определенные значения). Вообще, о матрице величины /, определенной с помощью собственных функций некоторого опе- ратора g, говорят, как о матрице / в представлении, в котором g диагонально. Везде, где это не оговорено особо, под матрицей физической величины мы будем в дальнейшем понимать матри- цу в обычном представлении, в котором диагональна энергия. Все, что сказано выше о зависимости матриц от времени, отно- сится, разумеется, только к этому обычному представлению1). С помощью матричного представления операторов можно доказать упомянутую в §4 теорему: если два оператора ком- мутативны друг с другом, то они обладают общей полной си- стемой собственных функций. Пусть / и g будут двумя такими операторами. Из /g = g/ и правила умножения матриц A1.12) следует, что / J Jmkekn — / J emklkn- к к Взяв в качестве системы функций фп, с помощью которых вы- числяются матричные элементы, собственные функции опера- тора /, будем иметь fm^ = 0 при m ф к, так что написанное равенство Сведется К равенству fmmgmn — gmnfnn ИЛИ gmn(fm - fn) = 0. Если все собственные значения fn величины / различны, то при всех m ф п имеем fm — fn ф 0, так что должно быть gmn = 0. ) Имея в виду диагональность матрицы энергии, легко убедиться в том, что равенство A1.8) есть написанное в матричном виде операторное соот- ношение (9.2). 56 ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС ГЛ. II Таким образом, матрица gmn тоже оказывается диагональной, т. е. функции фп являются собственными функциями также и физической величины g. Если же среди значений fn есть оди- наковые (т. е. если есть такие собственные значения, которым соответствуют по нескольку различных собственных функций), то соответствующие каждой такой группе функций фп матрич- ные элементы gmn окажутся, вообще говоря, отличными от нуля. Однако линейные комбинации функций фп, соответствующих од- ному собственному значению величины /, тоже являются ее соб- ственными функциями; можно всегда выбрать эти комбинации таким образом, чтобы обратить в нуль соответствующие недиа- гональные матричные элементы gmn, и, таким образом, мы и в этом случае получим систему функций, являющихся собствен- ными функциями одновременно для операторов / и g. Отметим полезную в приложениях формулу где Л—некоторый параметр, от которого зависит гамильтони- ан Н (а с ним и собственные значения энергии Еп). Действи- тельно, продифференцировав уравнение (Н — Еп)фп = 0 по Л и затем умножив его слева на ^, получим При интегрировании по dq левая часть этого равенства обраща- ется в нуль, поскольку ввиду эрмитовости оператора Н. Правая же часть дает искомое равенство. В современной литературе широко применяется система обо- значений (введенная Дираком), в которой матричные элемен- ты fnm записываются какх) (n\f\m). A1.17) Этот символ построен так, что его можно рассматривать как «составленный» из обозначения величины / и символов \т) и 1) Мы будем пользоваться в этой книге обоими способами обозначения мат- ричных элементов. Обозначение A1.17) в особенности удобно, когда каждый из индексов надо писать в виде совокупности нескольких букв. § 12 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МАТРИЦ 57 |п), обозначающих соответственно начальное и конечное состо- яния как таковые (вне зависимости от того, в каком представ- лении используются волновые функции состояний). С помощью этих же символов «составляются» обозначения для коэфициен- тов разложения волновых функций: если мы имеем полный на- бор волновых функций, отвечающих состояниям |ni), |n2), •••, то коэффициенты разложения по ним волновой функции неко- торого состояния \т) обозначаются как (щ\т): (гц\т)= [ф*ПгфтAд. A1.18)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Матрицы» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
