Пусть теперь параметр Л постоянен, так что рассматривае- мая система замкнута. Произведем каноническое преобразование переменных д,р, выбрав величину / в качестве нового «импульса». Роль произ- водящей функции должно при этом играть «укороченное дей- ствие» So, выраженное в функции от q и /. Действительно, Sq 206 КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ГЛ. VII определяется как интеграл S0(q, Е; Л) = j p(q, E; Л) dq, E0.1) взятый при заданном значении энергии Е (и параметра Л). Но для замкнутой системы / является функцией одной только энер- гии; поэтому So можно с тем же правом выразить в виде функ- ции /Sb(<7,/;Л), а частная производная (dSo/dq)E = Р совпадает с производной (dSo/dq)i при постоянном /. Поэтому имеем p=dSo{q,I;\)t Eа2) что соответствует первой из формул канонического преобразо- вания D5.8). Вторая же формула определит новую «координа- ту» , которую обозначим через w: w = 8So(^/;A). E0.3) Переменные law называют каноническими переменными, при- чем / называется в этой связи переменной действия, awi — уг- ловой переменной. Поскольку производящая функция 5о(#, 1\ А) не зависит явно от времени, то новая функция Гамильтона Н' совпадает со ста- рой Н, выраженной через новые переменные. Другими словами, Н1 есть энергия, выраженная в функции переменной действия, ЕA). Соответственно уравнения Гамильтона для канонических переменных имеют вид j = 0, w = *^р-. E0.4) Из первого имеем, как и следовало, / = const — вместе с энергией постоянна и величина /. Из второго же видим, что угловая переменная является линейной функцией времени: w = —t + const = w(I)t + const; E0.5) она представляет собой фазу колебаний. Действие So(q,I) — неоднозначная функция координат. По истечении каждого периода эта функция не возвращается к ис- ходному значению, а получает приращение AS0 = 2тг/, E0.6) как это очевидно из E0.1) и определения / согласно D9.7). За это же время угловая переменная получает приращение А^ = Ад50 = 2тг. E0.7) § 50 КАНОНИЧЕСКИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ 207 Обратно, если мы выразим q и р (или любую их однознач- ную функцию F(q,p)) через канонические переменные, то эти функции не будут менять свои значения при изменении w на 2тс (при заданном значении /). Другими словами, всякая одно- значная функция F(q,p), будучи выражена через канонические переменные, является периодической функцией w с периодом, равным 2п. Уравнения движения могут быть сформулированы в кано- нических переменных также и для незамкнутой системы с зави- сящим от времени параметром Л. Преобразование к этим пере- менным осуществляется по-прежнему формулами E0.2),E0.3) с производящей функцией So, определяемой интегралом E0.1) и выраженной через переменную /, определяемую интегралом D9.7). Неопределенный интеграл E0.1) и определенный инте- грал D9.7) вычисляются при этом так, как если бы параметр Л(?) имел заданное постоянное значение; другими словами, So(q, /; Л(?)) — прежняя функция, вычисленная при постоянном Л, замененном затем заданной функцией Л(?) г). Поскольку производящая функция оказывается теперь (вме- сте с параметром Л) явной функцией времени, то новая функция Гамильтона Н' уже не будет совпадать со старой, т.е. с энергией Е{1). Согласно общим формулам канонического преобразования D5.8) имеем где введено обозначение причем Л должна быть выражена (после осуществления диф- ференцирования по Л) с помощью E0.3) через / и w. Уравнения Гамильтона принимают теперь вид ) Л, E0.10) где а) = (дЕ/д1)\ — частота колебаний (снова вычисленная так, как если бы Л было постоянным).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Канонические переменные» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
