Рассмотрим механическую систему, совершающую одномер- ное финитное движение и характеризующуюся некоторым пара- метром Л, определяющим свойства самой системы или внешнего поля, в котором она находится х). Предположим, что параметр Л под влиянием каких-либо внешних причин медленно (как говорят, адиабатически) меня- ется со временем. Под медленным подразумевается такое изме- нение, при котором Л мало меняется за время периода движения системы Г: Г^<Л. D9.1) (Ль При постоянном Л система была бы замкнутой и соверша- ла бы строго периодическое движение с постоянной энергией Е и вполне определенным периодом Т(Е). При переменном пара- метре Л система не является замкнутой и ее энергия не сохраня- ется. Но в силу предположенной медленности изменения Л ско- рость Е изменения энергии будет тоже малой. Если усреднить эту скорость по периоду Г и тем самым сгладить «быстрые» колебания в ее величине, то получающееся таким образом зна- чение Е определит скорость систематического медленного из- менения энергии системы; об этой скорости можно утверждать, г) Для краткости записи формул мы предполагаем, что имеется всего один такой параметр, но все результыты остаются в силе и при любом числе параметров. § 49 АДИАБАТИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ 203 что она будет пропорциональна скорости Л изменения парамет- ра Л. Это значит, другими словами, что понимаемая в указанном смысле медленно меняющаяся величина Е будет вести себя как некоторая функция от Л. Зависимость Е от Л можно предста- вить в виде постоянства некоторой комбинации из Е и Л. Та- кую величину, остающуюся постоянной при движении системы с медленно меняющимися параметрами, называют адиабатиче- ским инвариантом. Пусть H(q,p',X) — гамильтонова функция системы, завися- щая от параметра Л. Согласно D0.5) скорость изменения энер- гии системы dt dt д\ dt' ^ } Выражение в правой части этой формулы зависит не только от медленно меняющейся переменной Л, но и от быстро меняющих- ся переменных дир. Для выделения интересующего нас систе- матического хода изменения энергии надо, согласно сказанному выше, усреднить равенство D9.2) по периоду движения. При этом ввиду медленности изменения Л (а с ним и Л) можно вы- нести Л за знак усреднения: dt ~ dt а в усредняемой функции дН/дХ рассматривать как изменяю- щиеся величины лишь q и р, но не Л. Другими словами, усред- нение производится по такому движению системы, какое имело бы место при заданном постоянном значении Л. Запишем усреднение в явном виде как т дН 1 [дН, о Согласно уравнению Гамильтона q = дН /dp имеем dt- dq С помощью этого равенства заменяем интегрирование по време- ни на интегрирование по координате, причем и период Г запи- сываем в виде т 204 КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ГЛ. VII знаком § здесь обозначается интегрирование по полному изме- нению координаты («вперед» и «назад») за время периода1). Таким образом, формула D9.3) принимает вид ГдН/дЛ ~Ш _d\J дн/др q dt ~ dt Г dq ' / дН/др Как уже было указано, интегрирования в этой формуле дол- жны производиться по траектории движения при данном посто- янном значении Л. Вдоль такой траектории функция Гамильто- на сохраняет постоянное значение Е1, а импульс является опре- деленной функцией переменной координаты q и двух постоян- ных независимых параметров ? и А. Понимая импульс имен- но как такую функцию p(q\E,X) и дифференцируя равенство Н(р, д; Л) = Е по параметру Л, получим д\ др д\ ИЛИ дН/др ~ дХ' Подставив это в верхний интеграл в D9.5) и написав в ниж- нем подынтегральную функцию в виде др/дЕ, имеем Гдр dE d\ J dAq ^ = -TJWT или Это равенство можно окончательно переписать в виде где / обозначает интеграл I=±-Spdq, D9.7) взятый по траектории движения при заданных Е и Л. Этот ре- зультат показывает, что величина / остается в рассматриваемом приближении постоянной при изменении параметра Л, т.е. явля- ется адиабатическим инвариантом. Величина / является функцией энергии системы (и парамет- ра Л). Ее частная производная по энергии определяет период движения: согласно D9.4) имеем х) Если движение системы представляет собой вращение, а координа- той q является некоторый угол поворота (р, то интегрирование по d(p долж- но производиться по «полному обороту», т.е. от нуля до 2п. 50 КАНОНИЧЕСКИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ 205 или яр Щ = ш, D9.9) где со = 2п/Т — частота колебаний системы. Интегралу D9.7) может быть приписан наглядный геометри- ческий смысл, если воспользоваться понятием о фазовой траек- тории системы. В данном случае (одна степень свободы) фазо- вое пространство сводится к двумерной системе координат р, д, и фазовая траектория системы, совершающей периодическое дви- жение, представляет собой замкнутую кривую в этой плоскости. Интеграл D9.7), взятый вдоль этой кривой, представляет собой заключенную внутри нее площадь. Он может быть написан и как двумерный интеграл по площади: 2тг/ dpdq. D9.10) В качестве примера определим адиабатический инвариант для одномерного осциллятора. Его функция Гамильтона Я=^ + ^, D9.11) где ш — собственная частота осциллятора. Уравнение фазовой траектории дается законом сохранения энергии H(p,q) = E. Это есть эллипс с полуосями \/2тЕ и ^2E/maJ и его площадь (деленная на 2тс) I = E/w. D9.12) Адиабатическая инвариантность этой величины означает, что при медленном изменении параметров осциллятора его энергия меняется пропорционально частоте.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Адиабатические инварианты» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
