Переход к параболиче- ским координатам ?,,г|, ф совершается от цилиндрических ко- ординат (которые в этом параграфе мы будем обозначать, как р, ф, z) по формулам \ D8.10) Координаты ?, и г| пробегают значения от нуля до ос; поверхно- сти постоянных ?, и г| представляют собой, как легко убедиться, § 48 РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ 199 два семейства параболоидов вращения (с осью z в качестве оси симметрии). Связь D8.10) можно представить еще и в другой форме, введя радиус r = y/z* + p> = \(?J + T\). D8.11) Тогда l = r + z, r\ = r-z. D8.12) Составим функцию Лагранжа материальной точки в коор- динатах ?,,г|, ф. Дифференцируя выражения D8.10) по времени и подставляя в (функция Лагранжа в цилиндрических координатах), получим L = ^(?, +л) (у- + —) + у?,лФ2 — U(E^r\, ф). D8.13) Импульсы равны Ре, ~~ tf v^ ~1~ Л/^»? Рт\ ~~ 1 4с, 41 и функция Гамильтона Физически интересные случаи разделения переменных в этих координатах соответствуют потенциальной энергии вида U = а(?) + Ъ(т\) = a(r + z) + Ъ(г - z) ? + 2 ' Имеем уравнение 2 dSo\ , л ^f 1 , _J_ № Циклическая координата ф отделяется в виде рфф. Умножив затем уравнение нага(?,+л) и перегруппировав члены, получим (,)^+|| + л(^) + (л)Л + ^ = 0. Положив получим два уравнения 2Л 200 КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ГЛ. VII и, интегрируя их, найдем окончательно: S = -Et - 2?, 2?, 4?,2 с произвольными постоянными Рф, C,?".
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Параболические координаты» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
