При формулировке принципа наименьшего действия мы рас- сматривали интеграл t = Г Ldt, D3.1) взятый по траектории между двумя заданными положениями qi1) и qB\ которые система занимает в заданные моменты вре- мени t\ и ^2- При варьировании же действия сравнивались зна- чения этого интеграла для близких траекторий с одними и теми же значениями q(t\) и q(t>2). Лишь одна из этих траекторий от- вечает минимальному движению — та, для которой интеграл S минимален. Рассмотрим теперь понятие действия в другом аспекте. Имен- но, будем рассматривать S как величину, характеризующую дви- жение по истинным траекториям, и сравним значения, которые она имеет для траекторий, имеющих общее начало q(t{) = q^\ но проходящих в момент ?2 через различные положения. Дру- гими словами, будем рассматривать интеграл действия для ис- тинных траекторий как функцию значений координат в верхнем пределе интегрирования. Изменение действия при переходе от одной траектории к близкой к ней другой траектории дается (при одной степени сво- 43 ДЕЙСТВИЕ КАК ФУНКЦИЯ КООРДИНАТ 181 боды) выражением B.5) *2 fq~Jt%)bqdt- tl J \dq dt 8q Поскольку траектории действительного движения удовлетворя- ют уравнениям Лагранжа, то стоящий здесь интеграл обраща- ется в нуль. В первом же члене полагаем на нижнем пределе bq(t\) = О, а значение bqfo) обозначим просто, как bq. Заменив также dL/dq на р, получим окончательно: bS = р bq или в общем случае любого числа степеней свободы bS = J2Pibqi. D3.2) г Из этого соотношения следует, что частные производные от действия по координатам равны соответствующим импульсам Аналогичным образом действие можно понимать как явную функцию времени, рассматривая траектории, начинающиеся в заданный момент времени t\ в заданном положении q^\ но заканчивающиеся в заданном положении q^ в различные мо- менты времени ?2 — t. Понимаемую в этом смысле частную производную dS/dt можно найти путем соответствующего ва- рьирования интеграла. Проще, однако, воспользоваться уже из- вестной нам формулой D3.3), поступив следующим образом. По самому определению действия его полная производная по времени вдоль траектории равна f = L- D3-4) С другой стороны, рассматривая S как функцию координат и времени в описанном выше смысле и используя формулу D3.3), имеем dS OS , \^dS . OS + 2 ^ i Сравнивая оба выражения, находим -=L->,mi или окончательно dS_ dt 182 КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ГЛ. VII Формулы D3.3) и D3.5) вместе можно записать в виде вы- ражения dS = YlPidqi-Hdt D3.6) г для полного дифференциала действия как функции координат и времени в верхнем пределе интегрирования в D3.1). Предпо- ложим теперь, что изменяются координаты (и время) не только конца, но и начала движения. Очевидно, что соответствующее изменение S будет даваться разностью выражений D3.6) на обо- их концах, т.е. dS = Е P?W2) - HWdtW - Е P^dqV + HWdtV. D3.7) Это соотношение уже само по себе показывает, что, каково бы ни было внешнее воздействие на систему во время движения, ее конечное состояние не может быть произвольной функцией начального, — возможны только такие движения, при которых выражение в правой части равенства D3.7) является полным дифференциалом. Таким образом, уже самый факт существо- вания принципа наименьшего действия, независимо от конкрет- ного вида функции Лагранжа, накладывает на совокупность возможных движений определенные ограничения. В частности, оказывается возможным установить ряд общих закономерностей (не зависящих от вида имеющихся внешних полей) для пучков частиц, разлетающихся из заданных точек пространства. Изу- чение этих закономерностей составляет предмет так называемой геометрической оптики 1). Интересно отметить, что уравнения Гамильтона могут быть выведены формальным образом из условия минимальности дей- ствия, если написать последнее, на основании D3.6), в виде ин- теграла S= ffepidqi-Hdt) D3.8) и рассматривать координаты и импульсы как независимо варьи- руемые величины. Предполагая снова для краткости, что имеет- ся всего одна координата (и один импульс), запишем вариацию действия в виде bS = / \ bpdo + pd bq — -^—bqdt — -^—bpdt \ . J I oq dp ) См. «Теория поля», гл. VII. § 44 ПРИНЦИП МОПЕРТЮИ 183 Преобразование второго члена (интегрирование по частям) дает SS = [ Ьр (dq - ЩйЬ) +pbq- [ Ья(ёр+Щ ей) . На границах интегрирования мы должны положить bq = 0, так что проинтегрированный член выпадает. Остающееся же выра- жение может быть равным нулю при произвольных независи- мых Ьр и bq лишь при условии обращения в нуль подынтеграль- ных выражений в каждом из двух интегралов: dq=—dt, dp=-—dt, т.е. мы получаем после деления на dt уравнения Гамильтона.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Действие как функция координат» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
