Пусть f(p,q,t) — некоторая функция координат, импульсов и времени. Составим ее полную производную по времени к Подставив сюда вместо q^ и р^ их выражения из уравнений Га- мильтона D0.4), получим где введено обозначение dHdf 8H8f к Выражение D2.2) называют скобками Пуассона для величин Я и/. Такие функции от динамических переменных, которые оста- ются постоянными при движении системы, называются, как мы знаем, интегралами движения. Мы видим из D2.1), что условие того, чтобы величина / была интегралом движения (df /dt = 0), можно написать в виде f + {Я/} = 0. D2.3) Если же интеграл движения не зависит от времени явно, то {Я/} = 0, D2.4) т.е. его скобки Пуассона с функцией Гамильтона должны обра- щаться в нуль. Для любой пары величин / и g скобки Пуассона определя- ются аналогично D2.2): § 42 СКОБКИ ПУАССОНА 177 ifg\ = us/ к Скобки Пуассона обладают следующими свойствами, легко вы- водимыми из определения. Если переставить функции, то скобки переменят знак; если одна из функций — постоянная (с), то скобка равна нулю: {fg} = ~{gf}, D2.6) {/с} = 0. D2.7) Далее, {h + f2,g} = {fig} + {f2g}, D2.8) {/1/2, g} = /i{/2g} + /2{/ig}. D2.9) Взяв частную производную от D2.5) по времени, получим Если одна из функций / или g совпадает с одним из им- пульсов или координат, то скобки Пуассона сводятся просто к частной производной: = ?, D2.11) {fPk} = -§fk- D2.12) Формулу D2.11), например, получим, положив в D2.5) g = q^\ вся сумма сведется при этом к одному члену, так как -^- = S&/, д qi а -^ = 0. Положив в D2.11) и D2.12) функцию / равной щ и pi, получим, в частности, {QiQk} = 0, {piPk} = 0, {РгЧк} = Ьк. D2.13) Между скобками Пуассона, составленными из трех функций, существует соотношение {f{gh}} + {g{hf}} + {h{fg}} = 0; D2.14) оно называется тождеством Якоби. Для его доказательства заметим следующее. Согласно опре- делению D2.5) скобки Пуассона {fg} являются билинейной од- нородной функцией производных первого порядка от величин / и g. Поэтому, например, скобка {h{fg}} представляет собой ли- нейную однородную функцию производных второго порядка от / и g. Вся же левая часть равенства D2.14) в целом есть линейная однородная функция вторых производных от всех трех функций 178 КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ГЛ. VII /, gj h. Соберем вместе члены, содержащие вторые производ- ные от /. Первая скобка таких членов не содержит — в ней есть только первые производные от /. Сумму же второй и третьей скобок перепишем в символическом виде, введя линейные диф- ференциальные операторы D\ и D2 согласно = {/up}. 1огда {Hfg}} = {g{hf}} - {h{gf}} = Легко видеть, что такая комбинация линейных дифференциаль- ных операторов не может содержать вторых производных от /. В самом деле, общий вид линейных дифференциальных опера- торов есть к к где ?,&,г\к — произвольные функции переменных жх, Ж2,... Тогда 5s /с,/ /с,/ а разность этих произведений /с,/ есть снова оператор, содержащий только однократные диффе- ренцирования. Таким образом, в левой части равенства D2.14) взаимно сокращаются все члены со вторыми производными от /, а поскольку то же самое относится, очевидно, и к функциям g и /г, то и все выражение тождественно обращается в нуль. Важное свойство скобок Пуассона состоит в том, что если / и g — два интеграла движения, то составленные из них скобки тоже являются интегралом движения {fg} = const D2.15) (так называемая теорема Пуассона). Доказательство этой теоремы совсем просто, если / и g не зависят от времени явно. Положив в тождестве Якоби h = Н', получим {H{fg}} + {f{gH}} + {g{Hf}} = 0. § 42 СКОБКИ ПУАССОНА 179 Отсюда видно, что если {Hg} = 0 и {Hf} = О, то и {i7{/g}} = О, что и следовало доказать. Если же интегралы движения / и g зависят явно от времени, то можно записать на основании D2.1) Воспользовавшись формулой D2.10) и заменив скобку двумя другими при помощи тождества Якоби, получим ИЛИ откуда очевидно доказательство теоремы Пуассона в общем случае. Разумеется, применяя теорему Пуассона, мы не всегда будем получать новые интегралы движения, так как их число вообще ограничено B5—1, где s — число степеней свободы). В некоторых случаях мы можем получить тривиальный результат — скобки Пуассона сведутся к постоянной. В других случаях вновь полу- ченный интеграл может оказаться просто функцией исходных интегралов от / и g. Если же не имеет места ни тот, ни другой случай, то скобки Пуассона дают новый интеграл движения.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Скобки Пуассона» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
