Формулирование законов механики с помощью функции Ла- гранжа (и выводимых из нее уравнений Лагранжа) предполага- ет описание механического состояния системы путем задания ее обобщенных координат и скоростей. Такое описание, однако, не является единственно возможным. Ряд преимуществ, в особен- ности при исследовании различных общих вопросов механики, представляет описание с помощью обобщенных координат и им- пульсов системы. В связи с этим возникает вопрос о нахождении уравнений движения, отвечающих такой формулировке механики. Переход от одного набора независимых переменных к дру- гому можно совершить путем преобразования, известного в ма- тематике под названием преобразования Леэюандра. В данном случае оно сводится к следующему. Полный дифференциал функции Лагранжа как функции ко- ординат и скорости равен Это выражение можно написать в виде dL = J2Pi dqi + J2Pi dqi, I40-1) поскольку производные dL/dqi являются, по определению, обоб- щенными импульсами, a dL/dqi = pi в силу уравнений Лагранжа. Переписав теперь второй член в D0.1) в виде перенеся полный дифференциал d(^piqi) в левую часть равен- ства и изменив все знаки, получим из D0.1): i<li ~ L) = ~Y<Pi dqi + X) Qi dpi. 172 КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ГЛ. VII Величина, стоящая под знаком дифференциала, представ- ляет собой энергию системы (см. § 6); выраженная через коор- динаты и импульсы, она называется гамильтоновой функцией системы ,t)=J2Piqi-L. D0.2) г Из дифференциального равенства dH = -J2Pi dqi +Y,Qi dp» D0.3) следуют уравнения * = ^' » = -^г Dа4) Это — искомые уравнения движения в переменных ри^, так называемые уравнения Гамильтона. Они составляют систему 25 дифференциальных уравнений первого порядка для 2s неизвест- ных функций p(t) и д(?), заменяющих собой s уравнений второго порядка лагранжевого метода. Ввиду их формальной простоты и симметрии эти уравнения называют также каноническими. Полная производная от функции Гамильтона по времени dH дН При подстановке сюда сц и pi из уравнений D0.4) последние два члена взаимно сокращаются, так что В частности, если функция Гамильтона не зависит от времени явно, то dH/dt = 0, т.е. мы снова приходим к закону сохранения энергии. Наряду с динамическими переменными q, q или q, p функции Лагранжа и Гамильтона содержат различные параметры — ве- личины, характеризующие свойства самой механической систе- мы или действующего на нее внешнего поля. Пусть Л — такой параметр. Рассматривая его как переменную величину, будем иметь вместо D0.1) выражение вида dL = Y,i>i dqi + Y,Pi dqi + ^d\ после чего вместо D0.3) получим dH = -^2pi dqi + Y,<li dpi - -r^dX. Отсюда находим соотношение 40 УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА 173 связывающее частные производные по параметру Л от функций Лагранжа и Гамильтона; индексы у производных указывают, что дифференцирование должно производиться в одном случае при постоянных рид, а в другом — при постоянных q и q. Этот результат может быть представлен и в другом аспекте. Пусть функция Лагранжа имеет вид L = L$ + I/, где V пред- ставляет собой малую добавку к основной функции Lq. Тогда соответствующая добавка в функции Гамильтона Н = Щ + Н1 связана с V соотношением (H')Piq = -(L\q. D0.7) Заметим, что в преобразовании от D0.1) к D0.3) мы не пи- сали члена с с??, учитывающего возможную явную зависимость функции Лагранжа от времени, поскольку последнее играло бы в данном аспекте лишь роль параметра, не имеющего отношения к производимому преобразованию. Аналогично формуле D0.6) частные производные по времени от L и от Н связаны.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Уравнения Гамильтона» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
