До сих пор, рассматривая движение любой механической си- стемы, мы всегда относили его к инерциальной системе отсчета. Только в инерциальных системах отсчета функция Лагранжа, например, одной частицы во внешнем поле имеет вид Lo = ^ - U, C9.1) и соответственно уравнение движения dt дг (мы будем в этом параграфе отличать индексом 0 величины, относящиеся к инерциальной системе отсчета). Займемся теперь вопросом о том, как выглядят уравнения движения частицы в неинерциальной системе отсчета. Отправ- ным пунктом при решении этого вопроса снова является прин- цип наименьшего действия, применимость которого не ограни- чена никаким выбором системы отсчета; вместе с ним остаются в силе и уравнения Лагранжа Однако функция Лагранжа уже не имеет вида C9.1), и для ее нахождения необходимо произвести соответствующее преобра- зование функции Lq. Это преобразование мы произведем в два приема. Рассмот- рим сначала систему отсчета К\ которая движется относитель- § 39 ДВИЖЕНИЕ В НЕИНЕРЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ ОТСЧЕТА 167 но инерциальной системы К$ поступательно со скоростью V(t). Скорости vo и v' частицы относительно систем Ко и К1 связаны друг с другом соотношением vo = v' + V(t). C9.3) Подставив это выражение в C9.1), получим функцию Лагранжа в системе К1 Но V2(t) есть заданная функция времени; она может быть пред- ставлена как полная производная по t от некоторой другой функ- ции, и потому третий член в написанном выражении может быть опущен. Далее, v' = drr/dt, где г' — радиус-вектор частицы в си- стеме координат К'\ поэтому mV(t)v' = mV^ = UrnVY1) -тт'^. QjXi QjXi QjXi Подставив это в функцию Лагранжа и снова опустив полную производную по времени, получим окончательно: Li = гшР_ _ mW(ty _ ^ C9.4) где W = dV/dt — ускорение поступательного движения систе- мы отсчета К'. Составляя с помощью C9.4) уравнение Лагранжа, получим Мы видим, что в смысле своего влияния на уравнения движе- ния частицы ускоренное поступательное движение системы от- счета эквивалентно появлению однородного силового поля, при- чем действующая в этом поле сила равна произведению массы частицы на ускорение W и направлена в противоположную это- му ускорению сторону. Введем теперь еще одну систему отсчета, К', которая имеет общее с системой К1 начало, но вращается относительно нее с угловой скоростью ft(t); по отношению же к инерциальной си- стеме Kq система К совершает как поступательное, так и вра- щательное движение. Скорость v' частицы относительно системы К1 складывается из ее скорости v относительно системы К и скорости [fir] ее вращения вместе с системой К: v' = v + [fir] 168 ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ГЛ. VI (радиус-векторы гиг' частицы в системах Кж К1 совпадают). Подставив это выражение в функцию Лагранжа C9.4), получим L = ^f + mv[flr] + ^[ftrf - raWr - U. C9.6) Это есть общий вид функции Лагранжа частицы в произ- вольной неинерциальной системе отсчета. Отметим, что враще- ние системы отсчета приводит к появлению в функции Лагранжа члена совершенно особого вида — линейного по скорости частицы. Для вычисления производных, входящих в уравнение Ла- гранжа, запишем полный дифференциал dL = mvdv + mdv[ftr] + rav[ft dr] + га [ft r][ft dr] - — raW dr — —dr = rav dv + ra dv[ftr] + + ra dr [vft] + ra[[ftr]ft] dr - raW dr - ^ dr. Собирая члены, содержащие dv и dr, найдем ^ = mv + m[ftr], ^ = m[vft] + m[[ftr]ft] - mW - ^. Подставив эти выражения в C9.2), получим искомое уравнение движения mTt =~^~ mW + Ш^ + 2m[yfi] + тШ*Щ- C9.7) Мы видим, что «силы инерции», обусловленные вращением системы отсчета, слагаются из трех частей. Сила ra[rft] связа- на с неравномерностью вращения, а две другие присутствуют и при равномерном вращении. Сила 2га[vft] называется силой Ко- риолиса] в отличие от всех ранее рассматривавшихся (не дисси- пативных) сил она зависит от скорости частицы. Сила ra[ft[rft]] называется центробежной. Она направлена в плоскости, про- ходящей через г и ft перпендикулярно к оси вращения (т.е. на- правлению ft), в сторону от оси; по величине центробежная сила равна тпрЛ2, где р — расстояние частицы от оси вращения. Рассмотрим особо случай равномерно вращающейся системы координат, не имеющей поступательного ускорения. Положив в C9.6) и C9.7) ft = const, W = 0, получим функцию Лагранжа L = Щ- + rav[ftr] + у [ftrf - U C9.8) и уравнение движения ^ + 2mtvft] + ™[П[гП]] C9-9) § 39 ДВИЖЕНИЕ В НЕИНЕРЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ ОТСЧЕТА 169 Вычислим также энергию частицы в этом случае. Подставив р = ^ = mv + m[ftr] C9.10) в Е = pv — L, получим Обратим внимание на то, что в энергии линейный по скорости член отсутствует. Влияние вращения системы отсчета сводится к добавлению в энергии члена, зависящего только от координат частицы и пропорционального квадрату угловой скорости. Эта дополнительная потенциальная энергия —(га/2) [Qr]2 называет- ся центробежной. Скорость v частицы относительно равномерно вращающей- ся системы отсчета связана с ее же скоростью vo относительно инерциальной системы Kq соотношением vo = v + [ftr]. C9.12) Поэтому импульс р (см.C9.10)) частицы в системе К совпа- дает с ее же импульсом ро = ravo в системе Kq. Вместе с ними совпадают также моменты импульсов Мо = [грр] и М = [гр]. Энергии же частицы в системах К и Kq различны. Подставив v из C9.12) в C9.11), получим Е = ^f - ravo[fir] + U = ^f + U - ra[rvo]fi. Первые два члена представляют собой энергию Eq в системе Kq. Вводя в последний член момент импульса, получим Е = Е0-М?1. C9.13) Этой формулой определяется закон преобразования энергии при переходе к равномерно вращающейся системе координат. Хотя мы вывели его для одной частицы, но очевидно, что вывод может быть непосредственно обобщен на случай любой системы частиц, это приводит к той же формуле C9.13).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Движение в неинерциальной системе отсчета» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
