Условия равновесия твердого тела, как это видно из урав- нений движения C4.1) и C4.3), можно сформулировать в виде равенства нулю действующих на него полной силы и полного момента сил: F = ?f = 0, K = ? [rf] = 0. C8.1) Суммирование производится здесь по всем приложенным к те- лу внешним силам, а г — радиус-векторы «точек приложения» сил; при этом точка (начало координат), относительно кото- рой определяются моменты, может быть выбрана произволь- ным образом: при F = 0 значение К не зависит от этого вы- бора (см. C4.5)). Если мы имеем дело с системой соприкасающихся друг с дру- гом твердых тел, то в равновесии условия C8.1) должны выпол- няться для каждого из тел в отдельности. При этом в число сил должны быть включены также и силы, действующие на данное тело со стороны остальных соприкасающихся с ним тел. Эти силы приложены в точках соприкосновения тел и называются силами реакции. Очевидно, что для каждых двух тел их вза- имные силы реакции равны по величине и противоположны по направлению. В общем случае как величины, так и направления реакций определяются в результате совместного решения системы урав- нений равновесия C8.1) для всех тел. В некоторых случаях, од- нако, направление сил реакции задается уже условиями задачи. Так, если два тела могут свободно скользить по поверхности друг друга, то силы реакции между ними направлены по нор- мали к поверхности. Если соприкасающиеся тела движутся друг относительно друга, то, кроме сил реакции, появляются также силы дисси- пативного характера — силы трения. Возможны два типа движения соприкасающихся тел — скольжение и качение. При скольжении реакции перпендику- 162 ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ГЛ. VI лярны к соприкасающимся поверхностям, а силы трения на- правлены по касательным к ним. Чистое качение характеризуется тем, что в точках соприкос- новения нет относительного движения тел; другими словами, катящееся тело в каждый момент времени как бы закреплено в точке соприкосновения. При этом направление силы реакции произвольно, т.е. не обязательно нормально к соприкасающим- ся поверхностям. Трение же при качении проявляется в виде дополнительного момента сил, препятствующего качению. Если при скольжении трение настолько мало, что им мож- но вовсе пренебречь, то поверхности тел называются абсолют- но гладкими. Напротив, если свойства поверхности допускают лишь чистое качение тел без скольжения, а трением при качении можно пренебречь, то поверхности называют абсолютно шеро- ховатыми. В обоих случаях силы трения не фигурируют явным образом в задаче о движении тел, и потому задача является чисто ме- ханической. Если же конкретные свойства трения существенны для движения, то последнее не является уже чисто механиче- ским процессом (ср. § 25). Соприкосновение тел уменьшает число их степеней свободы по сравнению с тем, которым они обладали бы при свободном движении. До сих пор при рассмотрении такого рода задач мы учитывали это обстоятельство путем введения координат, непо- средственно соответствующих реальному числу степеней свобо- ды. При качении тел, однако, такой выбор координат может ока- заться невозможным. Условие, накладываемое на движение тел при качении, за- ключается в равенстве скоростей соприкасающихся точек (так, при качении тела по неподвижной поверхности скорость точки соприкосновения должна быть равна нулю). В общем случае та- кое условие выражается уравнениями связи вида ?саг^ = 0, C8.2) г где Cod — функции только координат (индекс а нумерует уравне- ния связей). Если левые части равенства не являются полными производными по времени каких-либо функций координат, то эти уравнения не могут быть проинтегрированы. Другими сло- вами, они не сведутся к соотношениям между одними только координатами, которыми можно было бы воспользоваться для § 38 СОПРИКОСНОВЕНИЕ ТВЕРДЫХ ТЕЛ 163 того, чтобы выразить положение тел через меньшее число ко- ординат в соответствии с реальным числом степеней свободы. Такие связи называют неголономными (в противоположность голономным, связывающим лишь координаты системы). Рассмотрим, например, качение шара по плоской поверх- ности. Как обычно, обозначим через V скорость поступатель- ного движения (скорость центра шара), а через ft — угловую скорость вращения его. Скорость точки касания шара с плос- костью получится, если положить г = —an в общей формуле v = V + [fir] (a — радиус шара, п — единичный вектор нормали к плоскости качения в точке соприкосновения). Искомая связь представляет собой условие отсутствия скольжения в точке ка- сания, т.е. дается уравнением V - а[пп] = 0. C8.3) Оно не может быть проинтегрировано: хотя скорость V пред- ставляет собой полную производную по времени от радиус-век- тора центра шара, но зато угловая скорость не является в общем случае полной производной каких-либо координат. Таким обра- зом, связь C8.3) неголономна х). Поскольку уравнения неголономных связей нельзя исполь- зовать для уменьшения числа координат, то при наличии таких связей неизбежно приходится пользоваться координатами, кото- рые не все независимы. Для составления соответствующих уравне- ний Лагранжа снова вернемся к принципу наименьшего действия. Наличие связей вида C8.2) налагает определенные ограниче- ния на возможные значения вариаций координат. Именно, умно- жив эти уравнения на б?, мы найдем, что вариации bqi не неза- висимы, а связаны соотношениями = 0. C8.4) Это обстоятельство должно быть учтено при варьировании дей- ствия. Согласно общему методу Лагранжа для нахождения ус- ловных экстремумов, надо к подынтегральному выражению ва- риации действия г) Заметим, что такая же связь для качения цилиндра была бы голо- номной. В этом случае ось вращения сохраняет при качении постоянное направление в пространстве, и потому Q = d(p/dt является полной произ- водной от угла поворота (р цилиндра вокруг своей оси. Соотношение C8.3) при этом интегрируется и дает связь между координатой центра инерции и углом (р. 164 ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ГЛ. VI прибавить умноженные на неопределенные множители (функ- ции координат) Ла уравнения C8.4), после чего потребовать об- ращения интеграла в нуль. При этом можно уже считать все вариации bqi независимыми, и мы получим уравнения d dL dL ^л /qq r\ JtWrWi=^XaC™- C8-5) Вместе с уравнениями связей C8.2) они составляют полную си- стему уравнений для неизвестных величин qi и Ла. В изложенном методе силы реакции вообще не фигурируют; соприкосновение тел целиком учитывается уравнениями связей. Существует, однако, и другой метод составления уравнений дви- жения соприкасающихся тел, в котором силы реакции вводятся явным образом. Сущность этого метода (составляющего содер- жание так называемого принципа д'Аламбера) состоит в том, что для каждого из соприкасающихся тел пишутся уравнения f = Ef, ™=?[rf], C8.6) причем в число действующих на тело сил / включаются также и силы реакции; эти силы заранее неизвестны и сами определя- ются вместе с движением тела в результате решения уравнений. Этот метод в равной степени применим как при голономных, так и при неголономных связях.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Соприкосновение твердых тел» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
