Написанные в § 34 уравнения движения относятся к непо- движной системе координат: производные dP/dt и dNL/dt в уравнениях C4.1) и C4.3) представляют собой изменения век- торов РиМпо отношению к этой системе. Между тем, наибо- лее простая связь между компонентами вращательного момента М твердого тела и компонентами угловой скорости имеет ме- сто в подвижной системе координат с осями, направленными по главным осям инерции. Для того чтобы воспользоваться этой связью, необходимо предварительно преобразовать уравнения движения к подвижным координатам жх, Ж2, #з- § 36 УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА 151 Пусть dA/dt — скорость изменения какого-либо вектора А по отношению к неподвижной системе координат. Если по от- ношению к вращающейся системе вектор А не изменяется, то его изменение относительно неподвижной системы обусловлено только вращением, и тогда (см. § 9, где было указано, что такие формулы, как (9.1), (9.2), справедливы для любого вектора). В общем случае к правой ча- сти этого равенства надо добавить скорость изменения вектора А по отношению к подвижной системе; обозначив эту скорость, как dfA/dt, получим ? = ^ + [ПА]. C6.1) С помощью этой общей формулы мы можем сразу перепи- сать уравнения C4.1) и C4.3) в виде ^- + [fiP] = F, ^ + [ПМ] = К. C6.2) Поскольку дифференцирование по времени производится здесь в подвижной системе координат, то мы можем непосредственно спроецировать уравнения на оси системы, написав 'd'P" dt ' " '' V dt ) i dt ' " '' где индексы 1, 2, 3 означают компоненты по осям жх, Ж2, жз- При этом в первом уравнении заменяем Р на yiV и получаем = F2, C6.3) Предполагая оси #i, Ж2, x% выбранными по главным осям инер- ции, во втором из уравнений C6.2) пишем Mi = /i^i и т.д. h^-+ (h - hWstli = К2, C6.4) h^-+ (h - h^tuz = K3. Уравнения C6.4) называются уравнениями Эйлера. 152 ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ГЛ. VI При свободном вращении К = 0 и уравнения Эйлера прини- мают вид = о, C6-5) = 0. В качестве примера применим эти уравнения к уже рас- сматривавшемуся нами свободному вращению симметрического волчка. Положив 1\ = /2, имеем из третьего уравнения Г^з = 0, т.е. 0% — const. После этого первые два уравнения напишем в виде где введена постоянная величина a) = Os1-^-^. C6.6) Умножив второе уравнение на г и сложив с первым, получим откуда где А — постоянная; последнюю можно считать вещественной (это сводится к надлежащему выбору начала отсчета времени), и тогда Oi = A cos cut, O2 = A sin cut. C6.7) Этот результат показывает, что проекция угловой скорости на плоскость, перпендикулярную к оси волчка, вращается в этой плоскости с угловой скоростью си, оставаясь постоянной по ве- личине (л/О^ + О2 = А). Поскольку проекция 0% на ось волчка тоже постоянна, то и весь вектор ft равномерно вращается с уг- ловой скоростью си вокруг оси волчка, оставаясь неизменным по величине. Ввиду связи М\ = /ifii, M2 = /2^2? -ОДз — ^3^3 меж- ду компонентами векторов ft и М такое же движение (по отно- шению к оси волчка) совершает, очевидно, и вектор момента М. Полученная картина представляет собой, разумеется, лишь другой аспект того же движения волчка, которое уже было рас- смотрено в § 33 и 35 по отношению к неподвижной системе коор- динат. В частности, угловая скорость вращения вектора М (ось Z на рис. 48) вокруг направления х% совпадает, в терминах эй- леровых углов, с угловой скоростью — г|;. С помощью уравнений § 37 АСИММЕТРИЧЕСКИЙ ВОЛЧОК 153 C5.4) имеем ; Mcos9 . п Л/Г п/1 1\ гр = — ф cos v = М cos 0 1-— — h \h h/ или в согласии с C6.6),
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Уравнения Эйлера» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
