Поскольку твердое тело обладает в общем случае шестью степенями свободы, то общая система уравнений движения дол- жна содержать шесть независимых уравнений. Их можно пред- ставить в виде, определяющем производные по времени от двух векторов: импульса и момента тела. Первое из этих уравнений получается просто путем сумми- рования уравнений р = f для каждой из составляющих тело частиц, где р — импульс частицы, a f — действующая на нее сила. Вводя полный импульс тела и полную действующую на него силу J^f = F, получим f = F. C4.1) Хотя мы определили F как сумму всех сил f, действующих на каждую их частиц, в том числе со стороны других частиц тела, фактически в F входят лишь силы, действующие со сто- роны внешних источников. Все силы взаимодействия между ча- стицами самого тела взаимно сокращаются; действительно, при § 34 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 143 отсутствии внешних сил импульс тела, как и всякой замкнутой системы, должен сохраняться, т.е. должно быть F = 0. Если U — потенциальная энергия твердого тела во внешнем поле, то сила F может быть определена путем дифференциро- вания ее по координатам центра инерции тела: F = -||. C4.2) Действительно, при поступательном перемещении тела на 6R настолько же меняются и радиус-векторы г каждой точки тела, а потому изменение потенциальной энергии W = Y. ?6' = 6R? 7Г = -6R? f = -F6R- Z—f dt z—' dt z—' Отметим в этой связи, что уравнение C4.1) может быть по- лучено и как уравнение Лагранжа по отношению к координатам центра инерции d dL _ дЬ_ dtdV ~ Ж с функцией Лагранжа C2.4), для которой ' ж ж Перейдем к выводу второго уравнения движения, определяю- щего производную по времени от момента импульса М. Для упрощения вывода удобно выбрать «неподвижную» (инерциаль- ную) систему отсчета таким образом, чтобы в данный момент времени центр инерции тела покоился относительно нее. Имеем В силу сделанного нами выбора системы отсчета (в котором V = 0) значение г в данный момент времени совпадает со ско- ростью v = г. Поскольку же векторы v и р = rav имеют оди- наковое направление, то [гр] = 0. Заменив также р на силу f, получим окончательно: ^ = К, C4.3) где ]. C4.4) Поскольку момент М определен относительно центра инер- ции (см. начало § 33), он не меняется при переходе от одной 144 ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ГЛ. VI инерциальной системы отсчета к другой. Это видно из фор- мулы (9.5) с R = 0. Отсюда следует, что уравнение движения C4.3), полученное здесь при определенном выборе системы от- счета, тем самым, в силу галилеевского принципа относительно- сти, справедливо в любой инерциальной системе. Вектор [rf] называется моментом силы f, так что К есть сумма моментов всех сил, действующих на тело. Как и в пол- ной силе F, в сумме C4.4) фактически должны учитываться лишь внешние силы; в соответствии с законом сохранения мо- мента импульса сумма моментов всех сил, действующих внутри замкнутой системы, должна обращаться в нуль. Момент силы, как и момент импульса, зависит, вообще го- воря, от выбора начала координат, относительно которого он определен. В C4.3), C4.4) моменты определяются относительно центра инерции тела. При переносе начала координат на расстояние а новые ради- ус-векторы г' точек тела связаны со старыми г через г = г' + а. Поэтому или K = K' + [aF]. C4.5) Отсюда видно, в частности, что величина момента сил не зависит от выбора начала координат, если полная сила F = 0 (в таком случае говорят, что к телу приложена пара сил). Уравнения C4.3) можно рассматривать как уравнение Ла- гранжа ^&L _ dL_ dt dQ д(р по отношению к «вращательным координатам». Действительно, дифференцируя функцию Лагранжа C2.4) по компонентам век- тора ft, получим Изменение же потенциальной энергии U при повороте тела на бесконечно малый угол 6ф равно: bU = -? f6t = -Е f [5<Р • г] = -бср ?[rf] = -Кбф, откуда K = -g, C4.6) так что § 35 ЭЙЛЕРОВЫ УГЛЫ 145 dL 8U ъг Предположим, что векторы F и К взаимно перпендикуляр- ны. В этом случае всегда можно найти такой вектор а, чтобы в формуле C4.5) К' обратилось в нуль, так что будет: К = [aF]. C4.7) При этом выбор а неоднозначен: прибавление к нему любого вектора, параллельного F, не изменит равенства C4.7), так что условие К' = 0 даст не определенную точку в подвижной си- стеме координат, а лишь определенную прямую линию. Таким образом, при К 1 F действие всех приложенных к нему сил может быть сведено к одной силе F, действующей вдоль опре- деленной прямой линии. Таков, в частности, случай однородного силового поля, в котором действующая на материальную точку сила имеет вид f = еЕ, где Е — постоянный вектор, характеризующий поле, а величина е характеризует свойства частицы по отношению к данному полю х). В этом случае имеем F = E?e, K= [Eer E]. Предполагая, что $^е ^ О, введем радиус-вектор го, определен- ный согласно ^ го = §f. C4.8) Тогда мы получим следующее простое выражение для полного момента сил: K=[r0F]. C4.9) Таким образом, при движении твердого тела в однородном поле влияние поля сводится к действию одной силы F, «при- ложенной» в точке с радиус-вектором C4.8). Положение этой точки всецело определяется свойствами самого тела; в поле тя- жести, например, она совпадает с центром инерции тела.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Уравнения движения твердого тела» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
