В механике твердое тело можно определить как систему ма- териальных точек, расстояния между которыми неизменны. Ре- ально существующие в природе системы могут, конечно, удо- влетворять этому условию лишь приближенно. Но большинство твердых тел в обычных условиях так мало изменяет свою форму и размеры, что при изучении законов движения твердого тела, рассматриваемого как нечто целое, можно вполне отвлечься от этих изменений. В дальнейшем изложении мы будем часто рассматривать твердое тело как дискретную совокупность материальных то- чек, чем достигается некоторое упрощение выводов. Это, одна- ко, ни в какой степени не противоречит тому обстоятельству, что в действительности твердые тела можно обычно рассматри- вать в механике как сплошные, совершенно не интересуясь их внутренней структурой. Переход от формул, содержащих сум- мирование по дискретным точкам, к формулам для сплошного тела осуществляется просто заменой масс частиц на массу pdV', заключенную в элементе объема dV (p — плотность массы), и интегрированием по всему объему тела. Для описания движения твердого тела введем две системы координат: «неподвижную» , т.е. инерциальную систему XYZ, и движущуюся систему координат Ж1 = ж, Х2 = у, х% = z, кото- рая предполагается жестко связанной с твердым телом и участ- вующей во всех его движениях. Начало движущейся системы координат удобно совместить с центром инерции тела. Положение твердого тела относительно неподвижной систе- мы координат вполне определяется заданием положения дви- жущейся системы. Пусть радиус-вектор R указывает положе- ние начала О движущейся системы (рис. 35). Ориентация же осей этой системы относительно неподвижной определяется тре- §31 УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ 129 Рис. 35 мя независимыми углами, так что вместе с тремя компонентами вектора R мы имеем всего шесть координат. Таким образом, вся- кое твердое тело представляет собой механическую систему с шестью степенями свободы. Рассмотрим произвольное бесконечно малое перемеще- ние твердого тела. Его мож- но представить в виде суммы двух частей. Одна из них есть бесконечно малый параллель- ный перенос тела, в резуль- тате которого центр инерции переходит из начального по- ложения в конечное при неиз- менной ориентации осей подвижной системы координат. Вторая — бесконечно малый поворот вокруг центра инерции, в резуль- тате которого твердое тело приходит в конечное положение. Обозначим радиус-вектор произвольной точки Р твердого тела в подвижной системе координат через г, а радиус-вектор той же точки в неподвижной системе — через г. Тогда бесконеч- но малое смещение dx точки Р складывается из перемещения dR вместе с центром инерции и перемещения [d<p-r] относительно последнего при повороте на бесконечно малый угол dip (см. (9.1)): dx = dR + [dip • г]. Разделив это равенство на время dt, в течение которого произо- шло рассматриваемое перемещение, и введя скорости dt dt V' dR _ дт- dip _ ~dt ~ ' ~dt ~ C1.1) получим соотношение между ними v = V + [ftr]. C1.2) Вектор V есть скорость центра инерции твердого тела; ее на- зывают также скоростью его поступательного движения; век- тор ?1 — узловая скорость вращения твердого тела; его направ- ление (как и направление d(X)) совпадает с направлением оси вращения. Таким образом, скорость v любой точки тела (отно- сительно неподвижной системы координат) может быть выра- жена через поступательную скорость тела и угловую скорость его вращения. 130 ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ГЛ. VI Следует подчеркнуть, что при выводе формулы C1.2) специ- фические свойства начала координат как центра инерции тела совершенно не были использованы. Преимущества этого выбо- ра выяснятся лишь позже при вычислении энергии движуще- гося тела. Допустим теперь, что жестко связанная с твердым телом си- стема координат выбрана так, что ее начало находится не в цен- тре инерции О, а в некоторой точке О1 на расстоянии а от точ- ки О. Скорость перемещения начала О1 этой системы обозначим через V', а угловую скорость ее вращения — через ft'. Рассмотрим снова какую-либо точку Р твердого тела и обо- значим ее радиус-вектор относительно начала О1 через г'. Тогда г = г' + аи подстановка в C1.2) дает v = V+[fta] + [ftr']. С другой стороны, по определению V' и ft', должно быть v = = V' + [ft'r']. Поэтому мы приходим к выводу, что V' = V+[fta], п' = п. C1.3) Второе из этих равенств весьма существенно. Мы видим, что угловая скорость, с которой в каждый данный момент времени вращается жестко связанная с телом система координат, ока- зывается совершенно не зависящей от этой системы. Все такие системы вращаются в заданный момент времени вокруг парал- лельных друг другу осей с одинаковой по абсолютной величине скоростью ft. Это обстоятельство и дает нам право называть ft угловой скоростью вращения твердого тела как такового. Ско- рость же поступательного движения такого «абсолютного» ха- рактера отнюдь не имеет. Из первой формулы C1.3) видно, что если V и ft (в данный момент времени) взаимно перпендикулярны при каком-либо вы- боре начала координат О, то они (т.е. V' и ft') взаимно перпенди- кулярны и при определении по отношению к любому другому началу О1. Из формулы C1.2) видно, что в этом случае ско- рости v всех точек тела лежат в одной и той же плоскости — плоскости, перпендикулярной к ft. При этом всегда можно вы- брать такое начало О1 х), скорость V' которого равна нулю, что движение твердого тела (в данный момент) будет представлено г) Оно может, конечно, находиться вне объема тела. § 32 ТЕНЗОР ИНЕРЦИИ 131 как чистое вращение вокруг оси, проходящей через О1. Эту ось называют мгновенной осью вращения тела 1). В дальнейшем мы будем всегда предполагать, что начало движущейся системы координат выбрано в центре инерции те- ла, так что и ось вращения тела проходит через этот центр. При движении тела меняются, вообще говоря, как абсолютная вели- чина ft, так и направление оси вращения.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Угловая скорость» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
