Реферати статті публікації

Пошук по сайту

Головна » Реферати та статті » Фізика » Теоретична фізика у 10 томах

Колебания систем со многими степенями свободы

Теория свободных колебаний систем с несколькими (s) степе-
нями свободы строится аналогично тому, как были рассмотрены
в § 21 одномерные колебания.
Пусть потенциальная энергия системы U как функция обоб-
щенных координат qi(i = 1, 2,..., s) имеет минимум при qi = q^.
Вводя малые смещения
Xi = qi- qi0 B3.1)
88 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ГЛ. V
и разлагая по ним U с точностью до членов второго порядка,
получим потенциальную энергию в виде положительно опреде-
ленной квадратичной формы
YkXiXk, B3.2)
где мы снова отсчитываем потенциальную энергию от ее мини-
мального значения. Поскольку коэффициенты к{к и кк{ входят в
B3.2) умноженными на одну и ту же величину Х{Хк, то ясно, что
их можно всегда считать симметричными по своим индексам:
В кинетической же энергии, которая имеет в общем случае вид
2 $^ агк Ы)Ык
%,к
(см. E.5)), полагаем в коэффициентах qi = <^о и> обозначая по-
стоянные CLik{<lo) через га^, получаем ее в виде положительно
определенной квадратичной формы
B3.3)
Коэффициенты тп{к тоже мож:но всегда считать симметричными
по индексам
Таким образом, лагранжева функция системы, совершающей
свободные малые колебания, имеет вид
L = - ^2 (™>ikXiXk - kikxixk). B3.4)
i,k
Составим теперь уравнения движения. Для определения вхо-
дящих в них производных напишем полный дифференциал функ-
ции Лагранжа
^^ (mXi dxk + mikxk dxi - kikXi dxk - kikxk dxi).
Поскольку величина суммы не зависит, разумеется, от обозначе-
ния индексов суммирования, меняем в первом и третьем членах
в скобках i на fc, a fc на г; учитывая при этом симметричность
коэффициентов га^ и к{к, получим
dL =
§ 23 КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ СО МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 89
Отсюда видно, что
— =^mikxk, ^ =
к
Поэтому уравнения Лагранжа
к к
Они представляют собой систему s (г = 1,2,.. . ,s) линейных
однородных дифференциальных уравнений с постоянными ко-
эффициентами.
По общим правилам решения таких уравнений ищем s неиз-
вестных функций xk(t) в виде
хк = Akeiwt, B3.6)
где А к — некоторые, пока неопределенные, постоянные. Под-
ставляя B3.6) в систему B3.5), получаем по сокращении на ега>г
систему линейных однородных алгебраических уравнений, ко-
торым должны удовлетворять постоянные Ак:
53 (-cv2mik + kik)Ak = 0. B3.7)
к
Для того чтобы эта система имела отличные от нуля реше-
ния, должен обращаться в нуль ее определитель
\kik - aJmik\ = 0. B3.8)
Уравнение B3.8) — так называемое характеристическое урав-
нение — представляет собой уравнение степени s относитель-
но си2. Оно имеет в общем случае s различных вещественных
положительных корней си^., ос = 1,2,..., s (в частных случа-
ях некоторые из этих корней могут совпадать). Определенные
таким образом величины сиа называются собственными часто-
тами системы.
Вещественность и положительность корней уравнения B3.8)
заранее очевидны уже из физических соображений. Действи-
тельно, наличие у си мнимой части означало бы наличие во
временной зависимости координат хк B3.6) (а с ними и ско-
ростей хк) экспоненциально убывающего или экспоненциаль-
но возрастающего множителя. Но наличие такого множителя
в данном случае недопустимо, так как оно привело бы к изме-
нению со временем полной энергии Е = U + T системы в проти-
воречии с законом ее сохранения.
90 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ГЛ. V
В том же самом можно убедиться и чисто математическим
путем. Умножив уравнение B3.7) на А* и просуммировав затем
по г, получим
^2 (-w2mik + kik)A*Ak = 0,
i,k
откуда
2=
Квадратичные формы в числителе и знаменателе этого выра-
жения вещественны в силу вещественности и симметричности
коэффициентов к{к и га^; действительно,
ik
— / ^kjkAjAk = у kkjAjAk = /
Они также существенно положительны, а потому положитель-
но х) и си2. После того как частоты сиа найдены, подставляя
каждое из них в уравнения B3.7), можно найти соответствую-
щие значения коэффициентов Ак. Если все корни сиа характе-
ристического уравнения различны, то, как известно, коэффици-
енты Ак пропорциональны минорам определителя B3.8), в ко-
тором а) заменена соответствующим значением сиа; обозначим
эти миноры через Акос. Частное решение системы дифференци-
альных уравнений B3.5) имеет, следовательно, вид
хк =
где Сое — произвольная (комплексная) постоянная.
Общее же решение дается суммой всех s частных решений.
Переходя к вещественной части, напишем его в виде
S
хк = Re {?) AfcaCaeiaJ«*} = J>fcaea, B3.9)
(Х=1 ОС
где мы ввели обозначение
^*}. B3.10)
г) Положительная определенность квадратичной формы, построенной
на коэффициентах kik, очевидна из их определения в B3.2) для веществен-
ных значений переменных. Но если написать комплексные величины Ak в
явном виде как ak -\-ibk, то мы получим (снова в силу симметричности kik):
^2kikA*Ak = ^2kik(ai - ibi)(ak + ibk) = *^2, ^
i,k i,k i,k
т.е. сумму двух положительно определенных форм.
§ 23 КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ СО МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 91
Таким образом, изменение каждой из координат системы со
временем представляет собой наложение s простых периодиче-
ских колебаний @i, ©2, ..., @s с произвольными амплитудами
и фазами, но имеющих вполне определенные частоты.
Естественно возникает вопрос, нельзя ли выбрать обобщен-
ные координаты таким образом, чтобы каждая из них совершала
только одно простое колебание? Тамая форма общего интеграла
B3.9) указывает путь к решению этой задачи.
В самом деле, рассматривая s соотношений B3.9) как си-
стему уравнений с s неизвестными величинами ©а, мы можем,
разрешив эту систему, выразить величины ©i, ©2,..., @s через
координаты Ж1, Ж2Г .., xs. Следовательно, величины ©а можно
рассматривать как новые обобщенные координаты. Эти коорди-
наты называют нормальными (или главными), а совершаемые
ими простые периодические колебания — нормальными колеба-
ниями системы.
Нормальные координаты ©а удовлетворяют, как это явству-
ет из их определения, уравнениям
ё« + ш2явЛ = 0. B3.11)
Это значит, что в нормальных координатах уравнения движения
распадаются на s независимых друг от друга уравнений. Ускоре-
ние каждой нормальной координаты зависит только от значения
этой координаты, и для полного определения ее временной за-
висимости надо знать начальные значения только ее же самой
и соответствующей ей скорости. Другими словами, нормальные
колебания системы полностью независимы.
Из сказанного очевидно, что функция Лагранжа, выражен-
ная через нормальные координаты, распадается на сумму выра-
жений, каждое из которых соответствует одномерному колеба-
нию с одной из частот сиа, т.е. имеет вид
(в2а-ш2ав2а), B3.12)
где та — положительные постоянные. С математической точ-
ки зрения это означает, что преобразованием B3.9) обе квадра-
тичные формы — кинетическая энергия B3.3) и потенциальная
B3.2) — одновременно приводятся к диагональному виду.
Обычно нормальные координаты выбирают таким образом,
чтобы коэффициенты при квадратах скоростей в функции Лаг-
ранжа были равны 1/2. Для этого достаточно определить нор-
92 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ГЛ. V
мальные координаты (обозначим их теперь через Qa) равенствами
QOi = д/щ^ва. B3.13)
Тогда
ос
Все изложенное мало меняется в случае, когда среди корней
характеристического уравнения имеются кратные корни. Об-
щий вид B3.9), B3.10) интеграла уравнений движений остается
таким же (с тем же числом s членов) с той лишь разницей, что
соответствующие кратным частотам коэффициенты Д/-^ уже не
являются минорами определителя, которые, как известно, обра-
щаются в этом случае в нуль х).
Каждой кратной (или, как говорят, вырожденной) часто-
те отвечает столько различных нормальных координат, како-
ва степень кратности, но выбор этих нормальных координат не
однозначен. Поскольку в кинетическую и потенциальную энер-
гии нормальные координаты (с одинаковым ша) входят в виде
одинаково преобразующихся сумм $^ Q\ и ^2 Q^., то их можно
подвергнуть любому линейному преобразованию, оставляюще-
му инвариантной сумму квадратов.
Весьма просто нахождение нормальных координат для трех-
мерных колебаний одной материальной точки, находящейся в
постоянном внешнем поле. Помещая начало декартовой системы
координат в точку минимума потенциальной энергии U(x,y, z),
мы получим последнюю в виде квадратичной формы перемен-
ных ж, у, z, а кинетическая энергия
Т =%& + ? + !?)
(га — масса частиц) не зависит от выбора направления коор-
динатных осей. Поэтому соответствующим поворотом осей надо
только привести к диагональному виду потенциальную энергию.
Тогда .,
L = у (ж2 + у2 + z2) - \{к1Х2 + к2у2 + ksz2), B3.14)
и колебания вдоль осей ж, у, z являются главными с частотами
CU3 =
г) Невозможность возникновения в общем интеграле членов, содержа-
щих наряду с экспоненциальными также и степенные временные множи-
тели, очевидна из тех же физических соображений, которые исключают
существование комплексных «частот»; наличие таких членов противоречи-
ло бы закону сохранения энергии.
§ 23 КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ СО МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 93
В частном случае центрально-симметричного поля {к\ = &2 =
= кз = к, U = кг2/2) эти три частоты совпадают (см. задачу 3).
Использование нормальных координат дает возможность
привести задачу о вынужденных колебаниях системы с несколь-
кими степенями свободы к задачам об одномерных вынужден-
ных колебаниях. Функция Лагранжа системы с учетом дейст-
вующих на нее переменных внешних сил имеет вид
L = L0+^2Fk(t)xk, B3.15)
к
где Lq — лагранжева функция свободных колебаний. Вводя вме-
сто координат Хк нормальные координаты, получим
L = \ Е (<й - ш1<&)
ос
где введено обозначение
к
Соответственно уравнения движения
Qoc + colQoc = foc(t) B3.17)
будут содержать лишь по одной неизвестной функции Qoc(t)-

Ви переглядаєте статтю (реферат): «Колебания систем со многими степенями свободы» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»