Очень распространенный тип движения механических си- стем представляют собой так называемые малые колебания, ко- торые система совершает вблизи своего положения устойчивого равновесия. Рассмотрение этих движений мы начнем с наиболее простого случая, когда система имеет всего одну степень свободы. Устойчивому равновесию соответствует такое положение системы, в котором ее потенциальная энергия U(q) имеет ми- нимум; отклонение от такого положения приводит к возник- новению силы —dU/dq, стремящейся вернуть систему обратно. Обозначим соответствующее значение обобщенной координаты через до- При малых отклонениях от положения равновесия в разложении разности U(q) — U(qo) по степеням q — qo достаточно сохранить первый неисчезающий член. В общем случае таковым является член второго порядка где к — положительный коэффициент (значение второй произ- водной Uff(q) при q = qo). Будем в дальнейшем отсчитывать потенциальную энергию от ее минимального значения (т.е. по- ложим U(qo) = 0) и введем обозначение x = q-q0 B1.1) для отклонения координаты от ее равновесного значения. Таким образом, Щх) = Щ-. B1.2) Кинетическая энергия системы с одной степенью свободы имеет в общем случае вид \a{q)f = \a{q)x\ В том же приближении достаточно заменить функцию a(q) про- § 21 СВОБОДНЫЕ ОДНОМЕРНЫЕ КОЛЕБАНИЯ 79 сто ее значением при q = q$. Вводя для краткости обозначение г) a(q0) = га, получим окончательно следующее выражение для лагранжевой функции системы, совершающей одномерные малые колебания 2): г _ тх2 кх2 /О1 Qx Соответствующее этой функции уравнение движения гласит: тх + кх = 0, B1.4) или х + аJх = 0, B1.5) где введено обозначение ш = у/к/т. B1.6) Два независимых решения линейного дифференциального урав- нения B1.5): cos cut и sin cut, так что его общее решение х — с\ cos cut + С2 sin cut. B1-7) Это выражение может быть написано также и в виде х = a cos (cut + ос). B1.8) Поскольку cos (cut + ос) = cos cut • cos ос — sin cut • sin а, сравнение с B1.7) показывает, что произвольные постоянные а л ос связаны с постоянными с\ и С2 соотношениями tg a=-c2/ci. B1.9) Таким образом, вблизи положения устойчивого равновесия система совершает гармоническое колебательное движение. Ко- эффициент а при периодическом множителе в B1.8) называется амплитудой колебаний, а аргумент косинуса — их фазой] ос есть начальное значение фазы, зависящее, очевидно, от выбора нача- ла отсчета времени. Величина си называется циклической часто- той колебаний; в теоретической физике, впрочем, ее называют обычно просто частотой, что мы и будем делать в дальнейшем. Частота является основной характеристикой колебаний, не зависящей от начальных условий движения. Согласно формуле B1.6) она всецело определяется свойствами механической систе- мы как таковой. Подчеркнем, однако, что это свойство часто- ) Подчеркнем, однако, что величина т совпадает с массой только в случае, если х есть декартова координата частицы! 2) Такую систему часто называют одномерным осциллятором. 80 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ГЛ. V ты связано с предполагаемой малостью колебаний и исчезает при переходе к более высоким приближениям. С математиче- ской точки зрения оно связано с квадратичной зависимостью потенциальной энергии от координаты х). Энергия системы, совершающей малые колебания, есть или, подставив сюда B1.8): Е= irawV. B1.10) Она пропорциональна квадрату амплитуды колебаний. Зависимость координаты колеблющейся системы от времени часто оказывается удобным представлять в виде вещественной части комплексного выражения x = Re{Aeiwt}, B1.11) где А — комплексная постоянная; написав ее в виде A = aeioc, B1.12) мы вернемся к выражению B1.8). Постоянную А называют ком- плексной амплитудой] ее модуль совпадает с обычной амплиту- дой, а аргумент — с начальной фазой. Оперирование с экспоненциальными множителями в мате- матическом отношении проще, чем с тригонометрическими, так как дифференцирование не меняет их вида. При этом, пока мы производим лишь линейные операции (сложение, умножение на постоянные коэффициенты, дифференцирование, интегрирова- ние), можно вообще опускать знак взятия вещественной части, переходя к последней лишь в окончательном результате вычис- лений.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Свободные одномерные колебания» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
