Определение потенциальной энергии по периоду колебаний
Рассмотрим вопрос о том, в какой степени можно восстано- вить вид потенциальной энергии U(х) поля, в котором частица совершает колебательное движение, по известной зависимости периода этого движения Г от энергии Е. С математической точ- ки зрения речь идет о решении интегрального уравнения A1.5), в котором U(х) рассматривается как неизвестная, а Т(Е) — как известная функции. При этом мы будем заранее предполагать, что искомая функ- ция U(х) имеет в рассматриваемой области пространства лишь один минимум, оставляя в стороне вопрос о возможности существова- ния решений интегрального урав- нения, не удовлетворяющих этому условию. Для удобства выберем начало координат в положении ми- нимума потенциальной энергии, а значение последней в этой точке положим равным нулю (рис. 7). Преобразуем интеграл A1.5), рассматривая в нем координа- ту х как функцию U. Функция x(U) двузначна — каждое значе- ние потенциальной энергии осуществляется при двух различных значениях х. Соответственно этому интеграл A1.5), в котором мы заменяем dx на -—dU, перейдет в сумму двух интегралов: аи от х = х\ до х = 0 и от х = 0 до х = Х2\ будем писать зависи- мость х от U в этих двух областях соответственно как х = x\(U) и х = X2(U). Пределами интегрирования по dU будут, очевидно, ? и О, так что получаем Е Рис. 7 Т(Е) = dU Разделим обе части этого равенства на уа — Е1, где а — па- раметр, и проинтегрируем по Е от нуля до ос. 12 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭНЕРГИИ ПО ПЕРИОДУ КОЛЕБАНИЙ 43 ос ос Е f Т(Е) dE _ rz— f f (dx2(U) _ dx!(U)\ dU dE J J^E ~ V mJ J V dU dU ) ^(ct- 0 0 0 или, меняя порядок интегрирования: ос ос ос [ T(E)dE _ пг- [ fdx2(U) dXl(U)\ „j f dE J 7^?~V2my \Гй dir)dUJ 7^ ¦E)(E-U) О 0 U Интеграл по dE вычисляется элементарно и оказывается рав- ным 7Г. После этого интегрирование по dU становится тривиаль- ным и дает ос T(E)dE rz— г , ч , чп ; ' = 7tv2m[X2{oc) — xi(oc)\ V а — Е О (при этом учтено, что х2@) = х±@) = 0). Заменив теперь бук- ву а на С/, находим окончательно: и (X / 0 Таким образом, по известной функции Т(Е) определяется разность X2(U) — x\(U). Сами же функции X2(U) и x\(U) оста- ются неопределенными. Это значит, что существует не одна, а бесчисленное множество кривых U = U(ж), приводящих к за- данной зависимости периода от энергии и отличающихся друг от друга такими деформациями, которые не меняют разности двух значений ж, соответствующих одному и тому же значению U. Многозначность решения исчезает, если потребовать, чтобы кривая U = U(x) была симметрична относительно оси ординат, т.е. чтобы было: В таком случае формула A2.1) дает для x(U) однозначное вы- ражение 27tV2ra 0
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Определение потенциальной энергии по периоду колебаний» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
