Умножение функции Лагранжа на любой постоянный мно- житель очевидным образом не меняет уравнений движения. Это обстоятельство (отмеченное уже в § 2) дает возможность в ряде важных случаев сделать некоторые существенные заключения о свойствах движения, не производя конкретного интегрирования уравнений движения. Сюда относятся случаи, когда потенциальная энергия явля- ется однородной функцией координат, т.е. функцией, удовлетво- ряющей условию U{ости <хг2, • • •, <*rn) = afeJ7(rb г2,..., гп), A0.1) где a — любая постоянная, а число к — степень однородности функции. 36 ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ГЛ. II Произведем преобразование, при котором наряду с измене- нием всех координат в а раз одновременно изменяется (в C раз) время: га -> ага, t -> [3?. Все скорости va = dra/dt изменяются при этом в а/|3 раз, а кинетическая энергия — в (Х2/[3 раз. Потенциальная же энергия умножается на оск. Если связать а и C условием ос2 _ к о _ al-*/2 _ _ a , т.е. [3 - a то в результате такого преобразования функция Лагранжа це- ликом умножится на постоянный множитель оск, т.е. уравнения движения останутся неизменными. Изменение всех координат частиц в одинаковое число раз означает переход от одних траекторий к другим, геометрически подобным первым и отличающимся от них лишь своими линей- ными размерами. Таким образом, мы приходим к заключению, что если потенциальная энергия системы является однородной функцией к-й степени от координат (декартовых), то уравнения движения допускают геометрически подобные траектории, при- чем все времена движения (между соответственными точками траекторий) относятся, как 1-к/2 A0.2) где V/I — отношение линейных размеров двух траекторий. Вместе с временами определенными степенями отношения /'// являются также значения любых механических величин в со- ответственных точках траекторий в соответственные моменты времени. Так, для скоростей, энергии и момента имеем k l+fc/2 И91 v1 _ A'\к/2 Е' _ A'\к М' _ (lf 7 " \Т) ' ~Ё ~ \Т) ' ~м-\Т Приведем для иллюстрации несколько примеров. Как мы увидим далее, в случае так называемых малых коле- баний потенциальная энергия является квадратичной функцией координат (к = 2). Из A0.2) находим, что период таких колеба- ний не зависит от их амплитуды. В однородном силовом поле потенциальная энергия — линей- ная функция координат (см. E.8)), т.е. к = 1. Из A0.2) имеем t' [7 V § 10 МЕХАНИЧЕСКОЕ ПОДОБИЕ 37 Отсюда следует, например, что при падении в поле тяжести квад- раты времен падения тел относятся, как их начальные высоты. При ньютоновском притяжении двух масс или кулоновском взаимодействии двух зарядов потенциальная энергия обратно пропорциональна расстоянию между частицами, т.е. является однородной функцией степени к = — 1. В этих случаях t- fl-V/2 t~\l) ' и мы можем утверждать, например, что квадраты времен об- ращения по орбитам пропорциональны кубам их размеров (так называемый третий закон Кеплера). Если движение системы, потенциальная энергия которой яв- ляется однородной функцией координат, происходит в ограни- ченной области пространства, то существует весьма простое соотношение между средними по времени значениями кинети- ческой и потенциальной энергии; это соотношение известно под названием вириальной теоремы. Поскольку кинетическая энергия Г является квадратичной функцией скоростей, то по теореме Эйлера об однородных функ- циях дТ олт, или, вводя импульсы дТ/dva = pa, получаем Усредним это равенство по времени. Средним значением ка- кой-либо функции времени /(?) называется величина т - [ Т J /= lim - [ f(t)dt. 0 Легко видеть, что если /(?) является производной по времени f(t) = dF(t)/dt от ограниченной (т.е. не принимающей бесконеч- ных значений) функции -F(t), то ее среднее значение обращается в нуль. Действительно, «ft = Шп ПЕЬПО) = о. т—)-оо т 38 ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ГЛ. II Предположим, что система совершает движение в конечной области пространства и со скоростями, не обращающимися в бесконечность. Тогда величина Y1 гаРа ограничена, и среднее значение первого члена в правой части равенства A0.4) обра- щается в нуль. Во втором же заменяем ра, согласно уравнениям Ньютона, на —dU/dra и получаем х) Если потенциальная энергия является однородной функцией к-й степени от всех радиус-векторов га, то, согласно теореме Эйле- ра, равенство A0.5) переходит в искомое соотношение 2Г = кп. A0.6) Поскольку Т + U = Е = Е, соотношение A0.6) можно пред- ставить в эквивалентных формах U = т^—Е, Т = j^—E, A0.7) выражающих U и Г через полную энергию системы. В частности, для малых колебаний (к = 2) имеем т = п, т.е. средние значения кинетической и потенциальной энергий совпадают. Для ньютоновского взаимодействия (к = —1) 2Г = -U. При этом Е = — Т в соответствии с тем, что при таком взаи- модействии движение происходит в конечной области простран- ства лишь при отрицательной полной энергии (см. § 15).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Механическое подобие» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
