Наиболее общая формулировка закона движения механиче- ских систем дается так называемым принципом наименьшего действия (или принципом Гамильтона). Согласно этому прин- ципу каждая механическая система характеризуется определен- ной функцией L{qi, 92, ..., Ъ, 91, 92, 9*, *) или, в краткой записи, L(q^ q, ?), причем движение системы удо- влетворяет следующему условию. Пусть в моменты времени t = t\ и t = ?2 система занима- ет определенные положения, характеризуемые двумя наборами значений координат q^ и qB\ Тогда между этими положениями система движется таким образом, чтобы интеграл г) Для краткости обозначений мы будем часто условно понимать под q совокупность всех координат q\, q<i,..., qs (и под q аналогично совокупность всех скоростей.) § 2 ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ 11 S = jL(q,q,t)dt B.1) ti имел наименьшее возможное значение 1). Функция L называет- ся функцией Лагранжа данной системы, а интеграл B.1) — дей- ствием. Тот факт, что функция Лагранжа содержит только q и q, но не более высокие производные g, 'q, ..., является выражением указанного выше факта, что механическое состояние полностью определяется заданием координат и скоростей. Перейдем к выводу дифференциальных уравнений, решаю- щих задачу об определении максимума интеграла B.1). Для упрощения записи формул предположим сначала, что система обладает всего одной степенью свободы, так что должна быть определена всего одна функция q(t). Пусть q = q(t) есть как раз та функция, для которой S имеет минимум. Это значит, что S возрастает при замене q(t) на любую функцию вида q(t) + 6q(t), B.2) где bq(t) — функция, малая во всем интервале времени от t\ до ?2 (ее называют вариацией функции q(t) ); поскольку при t = t\ и t = ?2 все сравниваемые функции B.2) должны принимать одни и те же значения q^' и q^\ то должно быть: Sq(h) = Sq(t2) = 0. B.3) Изменение S при замене q на q + bq дается разностью / L(q + bq,q + bq, t)dt— I L(q, q, t) dt. tl t! Разложение этой разности по степеням bq и bq (в подынтеграль- ном выражении) начинается с членов первого порядка. Необхо- димым условием минимальности S 2) является обращение в нуль г) Следует, однако, указать, что в такой формулировке принцип наимень- шего действия не всегда справедлив для всей траектории движения в целом, а лишь для каждого из достаточно малых ее участков; для всей же траек- тории может оказаться, что интеграл B.1) имеет лишь экстремальное, не обязательно минимальное значение. Это обстоятельство, однако, совершен- но не существенно при выводе уравнений движения, использующем лишь условие экстремальности. 2) Вообще — экстремальности. 12 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ГЛ. I совокупности этих членов; ее называют первой вариацией (или обычно просто вариацией) интеграла. Таким образом, принцип наименьшего действия можно записать в виде 5S = 5 Г L(q,q,t)dt = O, B.4) ti или, произведя варьирование: Замечая, что bq = -rbq, проинтегрируем второй член по частям: ¦[(-- J \dq -bq ' ¦ ' lu±J d dq tl Но в силу условий B.3) первый член в этом выражении исчезает. Остается интеграл, который должен быть равен нулю при про- извольных значениях Sg. Это возможно только в том случае, если подынтегральное выражение тождественно обращается в нуль. Таким образом, мы получаем уравнение ^&L _ aL _ Q dt dq dq При наличии нескольких степеней свободы в принципе наимень- шего действия должны независимо варьироваться s различных функций qi(t). Очевидно, что тогда мы получаем s уравнений: Это — искомые дифференциальные уравнения; они называются в механике уравнениями Лагранжа 1). Если функция Лагран- жа данной механической системы известна, то уравнения B.6) устанавливают связь между ускорениями, скоростями и коорди- натами, т.е. представляют собой уравнения движения системы. С математической точки зрения уравнения B.6) составля- ют систему s уравнений второго порядка для s неизвестных функций qi(t). Общее решение такой системы содержит 2s про- г) В вариационном исчислении, рассматривающем формальную задачу об определении экстремумов интегралов вида B.1), они называются урав- нениями Эйлера. § 2 ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ 13 извольных постоянных. Для их определения и тем самым пол- ного определения движения механической системы необходимо знание начальных условий, характеризующих состояние систе- мы в некоторый заданный момент времени, например знание начальных значений всех координат и скоростей. Пусть механическая система состоит из двух частей А и Д, каждая из которых, будучи замкнутой, имела бы в качестве функции Лагранжа соответственно функции La и Lb- Тогда в пределе, при разведении частей настолько далеко, чтобы взаи- модействием между ними можно было пренебречь, лагранжева функция всей системы стремится к пределу limL = LA + LB. B.7) Это свойство аддитивности функции Лагранжа выражает со- бой тот факт, что уравнения движения каждой из невзаимодей- ствующих частей не могут содержать величины, относящиеся к другим частям системы. Очевидно, что умножение функции Лагранжа механической системы на произвольную постоянную само по себе не отра- жается на уравнениях движения. Отсюда, казалось бы, могла вытекать существенная неопределенность: функции Лагранжа различных изолированных механических систем могли бы умно- жаться на любые различные постоянные. Свойство аддитивно- сти устраняет эту неопределенность, — оно допускает лишь одновременное умножение лагранжевых функций всех систем на одинаковую постоянную, что сводится просто к естествен- ному произволу в выборе единиц измерения этой физической величины; мы вернемся еще к этому вопросу в § 4. Необходимо сделать еще следующее общее замечание. Рас- смотрим две функции L\q,q,t) и L(q,q,t) , отличающиеся друг от друга на полную производную по времени от какой-либо функ- ции координат и времени f(q,i): ±). B.8) ,t) + Вычисленные с помощью этих двух функций интегралы B.1) связаны соотношением ?2 ?2 ?2 S' = / !/(<?, g, i) dt = / L(q, q,t)dt+ I ti ti ti 14 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ГЛ. I т.е. отличаются друг от друга дополнительным членом, исчезаю- щим при варьировании действия, так что условие 5Sf = 0 сов- падает с условием 8S = 0, и вид уравнений движения остается неизменным. Таким образом, функция Лагранжа определена лишь с точ- ностью до прибавления к ней полной производной от любой функции координат и времени.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Принцип наименьшего действия» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
