Концентрация свободных электронов в компенсированном полупроводнике
В этом разделе мы хотим рассмотреть уравнение (4.32) в условиях, когда в достаточно широком интервале температур изменяется заполнение только одной зоны и только одного сорта примесных центров. Так может происходить в ситуации, представленной на рис. 4.18. Эта ситуация задана действием Nd донорных примесных центров с уровнем энергии на га ниже зоны проводимости. Действие всех прочих примесных центров, отличных от данного вида, описывается «полной концентрацией компенсирующей примеси» Na. Для простоты предполагается, что ширина запрещенной зоны очень велика и р0 = 0 во всем 4.1. Равновесная статистика электронов 391 Рис. 4.18. Упрощенная диаграмма состояний для примесного полупроводника я-типа, в котором действуют донор- ные центры одного типа, частично компенсированные. / — полная концентрация всех акцепторов Na. рассматриваемом интервале температур. Тогда уравнение (4.32) упрощается к виду no = Ndll—P(Bd)] — Na. (4.33) Это выражение можно переписать следующим образом: {Nd—Na~no)=NdPe(Bd) = ^ . (4.34) Далее предположим, что число свободных электронов, обусловленных примесными уровнями, достаточно мало, чтобы неравенство n0<^Nc выполнялось при всех температурах. (Nc есть эффективная плотность состояний в зоне проводимости.) Тогда можно воспользоваться очень простой связью (4.9) между концентрацией свободных электронов и соответствующей энергией Ферми: "« = Лихр(^=^). (4.35) При одновременном выполнении соотношений (4.34) и (4.35) получаем два условия, связывающие п0 и sf- Совместное их решение приводит к квадратному уравнению либо для п0у либо для (sF/koT). Выбирая первое, мы можем сказать, что (А^-^-1) = PiVc «Ф (-е^Г), "о « Nc. (4.36) 392 Гл. 4. Полупроводники Аналогичное квадратное уравнение для концентрации свободных дырок, возбужденных с iVa акцепторов, обладающих энергией ионизации еа и частично компенсированных присутствием Na доноров, имеет вид p0(Nd + Po) =(ад)ехр(_е<доТ)> ft<<^ (4.37) (Na — Nd — ро) Уравнения (4.36) и (4.37) совершенно эквивалентны в отношении их зависимости от температуры и степени компенсации {NaINd), и оба уравнения широко используются. В последующем обсуждении мы будем говорить об электронах и уравнении (4.36), поскольку именно этот случай изображен на рис. 4.18. В полупроводнике при тепловом равновесии соблюдается детальное равновесие между любым процессом превращения энергии и обратным ему процессом. В результате процессов превращения, приводящих к обмену энергией между электронами и колебаниями решетки (фононами) и фоновым излучением черного тела (фотонами) в кристалле, электроны постоянно возбуждаются в зону проводимости и постоянно падают из этой зоны. Скорости генерации электронов и рекомбинации электронов в тепловом равновесии равны, и поэтому наблюдаемая величина п0 не зависит от времени. Если в полупроводнике действуют компенсирующие друг друга центры, то величина п0 будет удовлетворять уравнению (4.36). Уравнение (4.36) для электронов и соответствующее ему уравнение (4.37) для дырок называют уравнениями действующих масс, потому что они записаны в такой форме, которая ясно отражает закон действующих масс и принцип детального равновесия при установлении динамического равновесия между генерацией и рекомбинацией. Более подробно обсуждение процессов генерации и рекомбинации будет проведено в разд. 4.4. Соотношения (4.36) и (4.37) представляют собой относительно п0 и ро соответственно легко разрешаемые квадратные уравнения, решение которых позволяет узнать, как меняется концентрация свободных носителей с температурой. Тогда обращение выражения (4.35) позволяет проследить движение энергии Ферми с температурой. Задача 4.6 представляет собой простое упражнение по определению п0 и е^ в зависимости от температуры для случая невырожденного примесного полупровод- пика и напоминает о том, что предельный случай отсутствия вырождения, которого требует уравнение (4.36), может перестать выполняться. Рис. 4.19 иллюстрирует изменение п0 с обратной температурой для частично компенсированного полупроводника /г-типа. На этом рисунке представлены данные, относящиеся к образ- 4.1. Равновесная статистика электронов 393 Г, К 200 10070 50 40 30 Ю21 * /О20 !018 Юг/ Ю16 О / Z J 4 fOO/T, к"' Рис. 4.19. Характер изменения концентрации свободных электронов с температурой в примесной ситуации с компенсацией, определяемый соотношением (4.36). Экспериментальные точки для образцов а и б получены из измерений эффекта Холла на образцах кремния, легированных донорной примесью мышьяка и содержащих меньшие количества неизвестных компенсирующих центров. Кривые удовлетворяют уравнению (4.36) с правой частью 2,7Х XI О21 Г3/2ехр (—615/Г) м-3, что соответствует тс= 1,08т, р=!/2 и е* = = 0,053 эВ. Подгонка для образца а требует #«1=1,1 • 1022 м-3 и Na=2X ХЮ21 м-3. Для менее компенсированного образца б необходимые параметры составляют #а = 1,02-1022 м~3 и #а = 3-1019 м-3. Задача 4.7 касается температурной зависимости энергии Ферми для образцов а и б. цам кремния, легированного мышьяком. Каждый из образцов содержит около 1022 м-3 донорных центров мышьяка, однако в образце а больше компенсирующих центров, чем в образце б. Сплошные линии на рис. 4.19 отвечают решению уравнения (4.36) для значений Na и Nd> приведенных в подписи к рисунку; пунктирная кривая в представляет собой экстраполяцию для образца, аналогичного б, но с нулевой компенсацией. В задаче 4.7 исследуется вопрос о том, как заполнение связанных состояний донора, лежащих выше основного состояния, могло бы в некоторой части температурного интервала оказать небольшое влияние на результаты рис. 4.19. Однако в общем сравнении экспериментальных кривых на рисунке с их ходом, предсказанным уравнением (4.36), этим осложнением можно пренебречь. Уравнение (4.36) принимает несколько важных предельных форм, которые можно проиллюстрировать с помощью рис. 4.19. Прежде всего можно видеть, что п0 приближается к предель- 394 Гл. 4. Полупроводники ному максимальному значению (Nd—Na) для температур больших, чем (ed/Sko). (На рис. 4.19 это имеет место для температур выше 200 К.) Высокотемпературная область обычно называется областью истощения системы, поскольку никакого дальнейшего изменения в концентрации электронов не может произойти, если только уровень Ферми не опустится настолько низко, что начнется опустошение других типов центров или интенсивное собственное возбуждение. Для противоположного случая очень низких температур выражение (4.36) упрощается к виду n0 = [$Nc{Nd—Na)/Ma]exp{-ed/k0T), если n0^Na<Nd. (4.38) Условия, необходимые для этой асимптотической формы, реализуются ниже 70 К для образца а на рис. 4.19 и ниже 35 К для образца б. В этом низкотемпературном режиме 1п(я0) представляет собой в основном линейную функцию от (1/Т) с наклоном — Ed/k0. Более слабая часть температурной зависимости обусловлена зависимостью Г3/2 для величины Nc. Промежуточный температурный интервал, в котором \п(п0) также изменяется почти линейно с (1/Г), но с энергией активации, составляющей только (е^/2), можно видеть для образца б на рис. 4.19. Анализ уравнения (4.36) показывает, что для образца с очень слабой степенью компенсации должен существовать интервал температур, для которого n0 = ($NcNdyt2exp(-ed/2k0T), если Na « п0 « Nd, (4.39) и образец б удовлетворяет обоим этим неравенствам в интервале температур примерно от 45 до 90 К. Пунктирная кривая в на рис. 4.19 показывает ход зависимости (4.39), продолженной в область низких температур, как это было бы в идеализированном случае кремниевого образца, легированного мышьяком, совсем не содержащего компенсирующих центров. Для полупроводникового образца с относительно сильной компенсацией основных центров температурный интервал, к которому может быть применимо выражение (4.39), исчезает полностью. Действительно, для сильно компенсированного кристалла выражение По~, WtzJSy . (4.40) 1 + (Nal$Nc) exp (zd/k0T) V ; становится удовлетворительным приближением для всего температурного интервала. Соотношение между связанными электронами и электронами проводимости будет изменяться от так называемых условий 4.1. Равновесная статистика электронов 395 О Температура Т —*• Рис. 4.20. Зависимость электрохимического потенциала ef от температуры, отражающая уменьшение заселенности одного сорта частично компенсированных доноров, отдающих свои электроны в зону проводимости. Возникающая в результате этого концентрация свободных электронов дается уравнением (4.36), а изменение eF во всем интервале температур может быть описано уравнением (4.41). Подъем в левой части рисунка соответствует выражению (4.42), а последующий спад ef с ростом температуры соответствует области истощения, описываемой выражением (4.43). (Стрелка показывает направление сдвига зависимости при увеличении числа компенсирующих центров). Конечно, уровень Ферми должен совпадать с положением уровня Ферми "ф в собственном полупроводнике при достаточно высоких температурах. резервуара [n0<^Nd—Na\ при низких температурах до условий истощения [tio^Nd—Na] при достаточно высоких температурах в зависимости от того, мала или велика компенсация в кристалле. Увеличение концентрации свободных электронов при нагревании, конечно, может быть равным образом описано как температурное изменение энергии Ферми, которую, обращая равенство (4.35), можно представить в виде BF = Bc—k0Tln(Nc/n0). (4.41) Можно конечно, решая совместно (4.34) и (4.35), получить квадратное уравнение относительно exp(eF/k0T), как эт0 сДе" лано в книге «Статистика полупроводников». Однако в большинстве случаев ef определяют с помощью соотношения (4.41) после того, как величина п0 найдена из уравнения (4.36) или непосредственно из экспериментальных данных. Последняя процедура предлагается в задаче 4.7 для определения максимальной энергии Ферми при изменении температуры для образцов рис. 4.19. 396 Гл. 4. Полупроводники Общий характер изменения bf с температурой, когда опустошается определенный тип центров, схематически изображен на рис. 4.20. Имеют место два предельных вида поведения ер: гр = {гс—га) + k0T In [0 (Nd—Na)lNa) при малых Т, n0<^Na<Nd (4.42) н zF = zc—k0T In [Ncl{Nd—Na)] при больших Tf n0 « Nd — Na, (4.43) однако простого и удобного выражения, пригодного во всем температурном диапазоне, не существует. Этот ьопрос обсуждается в «Статистике полупроводников» более детально, включая те осложнения, которые возникают, когда величина п0 становится сравнима с JVC и ситуация в зоне проводимости становится «полувырожденной».
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Концентрация свободных электронов в компенсированном полупроводнике» з дисципліни «Фізика твердого тіла»
