Теперь мы можем использовать формулы двух последних разделов, чтобы определить величину собственной концентрации электронно-дырочных пар щ для полупроводника, содержащего пренебрежимо малое число примесных центров. Собственный полупроводник (рис. 4.5) имеет в двух зонах различные массы, тс и mv, так что Nc и Nv численно различны. Как и на рис. 4.1, мы используем символ а|) для обозначения величины уровня Ферми в области собственной проводимости, когда выполнено условие по = р0 = П1 370 Гл. 4. Полупроводники Рис. 4.5. Собственный полупроводник, для которого масса носителей в зоне проводимости тс значительно меньше массы носителей в валентной зоне mv. Это несовпадение усилено в степени г/2 для отношения Nv к Ne. В предположении, что собственная щель е* велика по сравнению с k0T, величина п* будет мала по сравнению как с NCi так и с Nv. Следовательно, в условии нейтральности т=NJTu, (^г) - л^„2 (-^-) • (4.15) записанном с помощью равенств (4.7) и (4.13), можно воспользоваться предельными выражениями обоих интегралов Ферми для невырожденного случая. Тогда Два уравнения (4.16) позволяют нам для невырожденного собственного полупроводника выразить каждую из величин т и ф порознь как функцию температуры. Концентрация пар равна n^iNcN^expi—e^koT), щ<^ЫСУ N„ (4.17) где ег-= (ес—8V) — ширина энергетической щели. Соответствующее изменение положения уровня Ферми с температурой имеет вид ф = -L (ес + е„) + -f № In (NJNe), nt<&Nm Nv (4.18) или ф= — (ес + ev) + — k0T In (mv/mc). 4.1. Равновесная статистика электронов 371 Рис. 4.6. Подъем собственного уровня Ферми \|) с ростом температуры по отношению к середине запрещенной зоны для собственного полупроводника, в котором mc<mv. Из-за несовпадения плотностей состояний в зоне проводимости (/) и валентной зоне (2) концентрации свободных электронов и свободных дырок могут оказаться равными, только если г|э лежит выше средней точки. Полупроводник, представленный на этом рисунке, обладает запрещенной зоной, уменьшающейся при нагревании, что смещает *ф еще ближе к зоне с малой массой. В предельном случае возможна ситуация, когда собственный полупроводник в зоне с легкой массой станет частично вырожденным при высоких температурах. [Так происходит в антимониде индия выше 400 К, согласно анализу Austin, McClymont — Physica, 20, 1077 (1954) См. также на рис. 4.9 результаты измерений собственной концентрации носителей заряда в InSb.] / — зона проводимости; 2 — валентная зона. Таким образом, если только тс и тг не оказываются одинаковыми, собственный уровень Ферми «ф смещен от середины запрещенной зоны при любой температуре, отличной от абсолютного нуля (когда величина щ бесконечно мала). Смещение уровня Ферми собственного полупроводника для случая несовпадения масс, соответствующего рис. 4.5, до некоторой степени проиллюстрировано рис. 4.6. Экспоненциальный множитель в выражении (4.17) в основном (но не полностью) определяет всю температурную зависимость tit. График зависимости щ от (1/Г), построенный в полулогарифмическом масштабе, как на рис. 4.7, а, имеет средний наклон, в первом приближении удовлетворительно совпадающий с величиной (—8t/2fe0), однако легко видеть, что график имеет небольшую кривизну. График же зависимости In (п//Г8/2) 372 Гл. 4. Полупроводники 10го Ю19 to го,] Ч ^ ю 16 ю 10 ,Г5\ - :\ i V 5 I ... \ I V \ I .. \ \ 3,0 3,5 4,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 \{-1 то/г, к-' Рис. 4.7. а — полулогарифмическое представление собственной концентрации как функциии обратной температуры для германия. Экспериментальные точки представляют собой данные, взятые из работы: Morin, Maita. — Phys. Rev. 96, 28 (1954). Обратите внимание на небольшую кривизну, обусловленную температурной зависимостью Г3/2 для множителя (NCNV)1,2\ б —те же результаты для (rti/T^) в качестве ординаты. Этот график может быть интерпретирован с помощью уравнения (4.20). Точки на графике получены с помощью экспериментальных измерений эффекта Холла. от l/Т на том же рисунке представляет собой абсолютно прямую линию, поскольку неэкспоненциальная температурная зависимость множителя (NCNV) /г при этом исключается. Выражение (4.17) предполагает, что прямая линия на рис. 4.7, б имеет наклон (—ei/2k0). Это было бы действительно так, если бы не небольшое усложнение, состоящее в том, что собственная щель между валентной зоной и зоной проводимости германия слегка уменьшается с ростом температуры, что характерно для большинства полупроводников 8. (Такое уменьшение ширины запрещенной зоны с нагревом схематически показано на рис. 4.6.) Изменения энергий для различных групп блоховских состояний в зависимости от температуры следует 8 Соединения свинца PbS, PbSe, РЬТе относятся к тем немногим полупроводникам, для которых собственная щель растет с нагревом (во всяком случае, до температур несколько выше 600 К). Для большинства полупроводников производная (dzijdT) очень мала при низких температурах и становится все более отрицательной с ростом температуры. В таблице величин (dZildT) для 48 различных полупроводников, приведенной в книге Бьюба (Bube R. И. Photoconductivity of Solids, Wiley, 1960. [Имеется перевод: Быоб Р. Фотопроводимость твердых тел.— М.: ИЛ, 1962]), только эти три соли свинца имеют положительные значения dzildT. 4.1. Равновесная статистика электронов 373 -mY $ * -№ О -орву о 100 zoo Теп пера тура Т? К Рис. 4.8. Изменение ширины запрещенной зоны с температурой для некоторых хорошо известных полупроводников. Щель «прямая» для GaAs и 1пР и «непрямая» для германия и кремния (см. разд. 4.3). А — кремний, 6to= = 1,156 эВ; Я —InP, ею=1,421 эВ; С—германий, ег0=0,741 эВ; D — GaAs, Eto= 1,521 эВ. Данные для Ge и Si взяты из работы: McLean Т. P. Progress in Semiconductors, v. 5, Wiley, 1960. Данные для GaAs: Sturge M. D — Phys. Rev., 127, 768 (1962). Данные для InP: Turner W. /., Reese W. £., Pet tit G. D — Phys. Rev., 136, A1467, (1964). ожидать как в результате изменения с Т межатомных расстояний, так и от температурной зависимости амплитуды колебаний атомов кристаллической решетки. На рис. 4.8 показано изменение с температурой ширины запрещенной зоны для нескольких хорошо известных полупроводников, эти зависимости затрудняют интерпретацию результатов измерений собственной концентрации электронно-дырочных пар. Если ширина запрещенной зоны может быть аппроксимирована линейной зависимостью е, = 8,0—аТ (4.19) в представляющем интерес интервале температур, то соотношение (4.17) может быть переписано в виде (/г*/73/2) - [2 (ml/2mlv/2k0/2nh2Y/2exp (a/2kQ)\ exp (—Ei0/2k0T), (4.20) 374 Гл. 4. Полупроводники где температурная зависимость правой части заключена исключительно в последнем экспоненциальном множителе. Следовательно, график \n(rii/T/2) от (1/Г) в полупроводнике может быть линейным, однако его наклон равен не (—ei/2k0), a (—Eio/2k0) и пересечение графика с осью ординат при (1/Г)-* -+0 определяется не только величинами тс и mVf но и параметром а. Анализ экспериметальных данных по германию на рис. 4.7 предложен в задаче 4.2. Даже до выполнения этого анализа из сопоставления кривой для германия на рис. 4.8 с формулой (4.19) ясно, что его не является при любой температуре зазором между зоной проводимости и валентной зоной в этом полупроводнике. Трудности такого рода и даже еще большие возникают при определении ширины запрещенной зоны по результатам измерений щ в любом полупроводнике, в котором е* представляет собой полиномиальную функцию температуры9. (Это увеличивает ценность данных по оптическому поглощению в дополнение к анализу данных по измерению гц). Переход от tii к е/ еще более труден, если эффективная масса плотности состояний для одной или обеих зон зависит от энергии или температуры. Среди прочих полупроводников подобной зависимостью особенно отличается такое соединение АщВу, как InSb, результаты измерений собственной концентрации которого представлены на рис. 4.9. Затруднения в интерпретации измерений собственной концентрации InSb на рис. 4.9 усугубляются еще тем, что в этом полупроводнике с относительно малой шириной запрещенной 9 Относительно простое нелинейное выражение для изменения ширины запрещенной зоны с температурой было предложено в работе: Varshni У. Р.— Phisica, 34, 149 (1967). Варшни исходил из рассмотрения двух различных физических механизмов, приводящих к температурному изменению ширины запрещенной зоны. Он указал, что температурное сужение щели, обусловленное увеличением константы связи между электронами и колебаниями решетки, должно изменяться как Т2, если 7-cOd, сменяясь линейной зависимостью при температурах, существенно превышающих температуру Дебая, когда возбужден весь спектр колебаний. На это сжатие щели налагается независимый вклад, обусловленный расширением решетки. Поскольку коэффициент теплового расширения для многих твердых тел при низких температурах очень мал и становится заметно больше при высоких температурах, соответствующий вклад в Де* для более высоких температур также должен быть линейным по Т. Соответственно Варшни удалось удовлетворительно описать экспериментальные зависимости ширины запрещенной зоны от температуры для ряда полупроводников выражением вида ei=,Ei0-ATV(T+B)-K Однако значения #, дающие наилучшее согласие с экспериментальными зависимостями для различных полупроводников, плохо коррелируют с величиной температуры Дебая, определенной тепловыми методами. 4.1. Равновесная статистика электронов 375 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 Sfl ЮОО/Г, К"' Рис. 4.9. Изменение с температурой собственной концентрации свободных носителей заряда в антимониде индия, полученное из измерений эффекта Холла и электропроводности [Hrostowski Н. /. et al. — Phys. Rev, 100, 1672 (1955)]. В корректном анализе должна быть учтена температурная зависимость ширины запрещенной зоны и эффективных масс, а также вырождение зоны проводимости при высоких температурах. Процедура, предложенная в задаче 4.3, не учитывает этих осложнений, и поэтому она будет давать для 8i значения, отличающиеся от правильных величин. зоны отношение (mc/mv) сильно отличается от единицы. Такое несовпадение плотностей состояний в двух зонах приводит к тому, что величина ф при высоких температурах оказывается гораздо выше середины запрещенной зоны [как можно видеть из выражения (4.18)], и если ширина щели составляет всего несколько k0T, то решение уравнений (4.15) может потребовать, чтобы величина -ф оказалась внутри зоны с малой массой. Намек на такое осложнение уже был сделан в подписи к рис. 4.6, но о нем умышленно ничего не было сказано при расчете (как мы теперь видим, ошибочном) зависимости ширины запрещенной зоны от температуры для InSb в задаче 4.3. Предупреждения об осложнениях, изложенные выше, должны призывать читателя к бдительности по отношению к многочисленным неправильно рассчитанным значениям «собственной щели» в различных полупроводниках, приведенным в литературе. Как уже отмечалось выше в связи с рис. 1.54, гораздо 376 Гл. 4. Полупроводники легче измерить величину с экспоненциальной зависимостью от (1/Г), чем убедиться, что измеренный наклон действительно есть та величина, которую предполагаешь определить.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Собственная концентрация электронно-дырочных пар» з дисципліни «Фізика твердого тіла»
