ДИПЛОМНІ КУРСОВІ РЕФЕРАТИ


ИЦ OSVITA-PLAZA

Реферати статті публікації

Пошук по сайту

 

Пошук по сайту

Головна » Реферати та статті » Фізика » Фізика твердого тіла

Функции Блоха
Пространственная зависимость потенциала, действие
которого испытывает в кристалле внешний электрон, была
рассмотрена Феликсом Блохом39, сделавшим в результате своего
анализа ряд существенных выводов. Полный потенциал V®
состоит из суммы двух частей.
1. Электростатического потенциала, обусловленного
распределением атомных остатков. Для идеальной решетки (т. е. для
решетки без фононов) этот вклад в У (г) будет обладать
трансляционной периодичностью решетки.
2. Потенциала, обусловленного всеми остальными внешними
электронами. Блох предположил, что плотность заряда,
создаваемая этими электронами, имеет одно и то же среднее по
времени значение в каждой элементарной ячейке кристалла и,
следовательно, также является периодической функцией. Такое
предположение, разумеется, удовлетворяет требованию
электронейтральности и грубо учитывает электрон-электронное
отталкивание.
Таким образом, согласно Блоху, полная потенциальная
энергия T®=—eV(v)y которая должна быть подставлена в
уравнение Шредингера (3.111), обладает периодичностью решетки.
Отсюда он заключил, что волновые функции, удовлетворяющие
уравнению (3.111) с таким потенциалом, должны иметь вид
%® = f/^r)exp(tk.r), (3.112)
где Uk(t)—некоторая функция (зависящая от величины
волнового вектора к), также обладающая периодичностью решетки.
Уравнение (3.111) принадлежит семейству
дифференциальных уравнений, известных в математике как уравнения Хилла.
Из периодичности Т[г) следует, что должны существовать
решения типа (3.112). Это утверждение математики называют
теоремой Флокэ. Однако, когда речь идет о поведении
электронов в периодической решетке, теорему, приводящую к
функциям вида (3.112), обычно называют теоремой Блоха, а сами
функции — функциями Блоха. Они оказываются очень
полезными.
Чтобы обсудить теорему Блоха для очень упрощенной гео-
38 Заинтересованный (и хорошо подготовленный) читатель найдет ссылки
на ряд методов задач многих тел в книге Андерсона: [Concepts in Solids, ed.
P. W. Andersson, Benjamin, 1964].
39 Block F.— Z. Physik, 52, 555 (1928).
3.4. Зонная теория твердых тел
251
Рис. 3.22. Периодический потенциал линейной моноатомной решетки. Можно
предположить, что через некоторое произвольное число N элементарных
ячеек волновые функции всех собственных состояний будут повторяться.
метрии, представим линейную цепочку идентичных атомов
с межатомным расстоянием а. Атомы отдают свои электроны,
которые образуют вырожденный одномерный электронный газ,
а положительные атомные остатки создают электрический
потенциал, представляющий собой ряд периодических
максимумов, как показано на рис. 3.22. [Следовательно, потенциальная
энергия электрона У[х)=—eV(x) имеет ряд
последовательных периодических минимумов.] Поскольку потенциал
обладает периодичностью решетки, для любого значения х
V(x) = V(x + a). (3.113)
Решение одномерного уравнения (3.111) для потенциальной
энергии У (х) существует. Наложим теперь циклическое
граничное условие типа Борна — Кармана, состоящее в том, что
волновая функция периодически повторяется через каждые N
единичных ячеек, где N — большое произвольно выбранное
число. Тогда
ty(x) = ty{x + Na) (3.114)
для любого значения х. Ввиду трансляционной симметрии
нашей модели представляется вероятным, что волновая функция
в одной единичной ячейке связана с волновой функцией в
следующей ячейке соотношением типа
$(х+а) =/$(*),
(3.115)
252
Гл. 3. Электроны в металлах
где / — функция, которую следует определить. Отсюда
вытекает, что для точек, разделенных несколькими единичными
ячейками, выполняется соотношение
y(x + ma) = Jm\p(x) (3.116)
и, в частности, что
ty(x + Na) = JNit>(x) (3.117)
Сравнение выражений (3.114) и (3.117) показывает, что /
должно быть одним из N корней N-й степени из единицы:
У = ехр(2яШ/Л0, (3.118)
где М — целое число.
Очевидно, все наши требования, наложенные на волновую
функцию, будут удовлетворяться, если записать i|)(x) в виде
произведения двух функций
*|> (х) = UM (х) ехр (2мМхШа), (3.119)
где первый множитель UM(x) есть функция, которая, подобно
V(x), обладает трансляционной периодичностью решетки.
Теперь каждое конкретное значение М может быть
сопоставлено с конкретным значением волнового вектора к,
определяющего периодичность волновой функции. Поскольку второй
множитель в выражении (3.119) на расстоянии Na
проходит М полных периодов, мы можем связать k и М
соотношением
k = 2nMINa. (3.120)
Воспользовавшись этим определением в формуле (3.119),
получаем волновую функцию
Ц(х)= Uk(x)exp(ikx), (3.121)
представляющую собой результат Блоха для одномерного
случая. Справедливость этого результата может быть показана
для двух и трех измерений.
В формуле (3.119) нет необходимости использовать
значение М, превышающее ±(N/2), что соответствует к=±(я/а).
Любой дополнительный периодический множитель может быть
отнесен к амплитуде Uk(x) блоховской функции. Речь идет
о том, что интервал изменения волнового вектора от k= (—я/а)
до k=( + n/a) [что соответствует изменению М от (—N/2) до
( + N/2)] образует первую зону Бриллюэна, как это было
показано в гл. 1 и 2. Большие значения М (т. е. большие
значения k) соответствуют точкам в зонах Бриллюэна,
расположенных дальше от начала координат в к-пространстве.
Выбор наименьшего возможного значения для к означает,
что волновой функции любого электронного состояния соот*
ЗА. Зонная теория твердых тел
253
ветствует точка в первой зоне Бриллюэна к-пространства
с любым числом измерений: одномерного, двумерного и
трехмерного. Как и в случае для колебательных состояний решетки,
изменение волнового вектора на вектор обратной решетки
k' = k±G (3.122)
приводит с точки зрения наблюдаемого электронного движения
к состоянию, эквивалентному к. Применяя преобразование
(3.122) к волновой функции (3.112), получаем
t|v (г)= [tfft®exp(ffi-r)]exp(ik'.r). (3.123)
Рассмотрим множитель exp(t'G*r), который теперь появился
в блоховской функции, и покажем, что он обладает
периодичностью решетки. При трансляции в реальном пространстве
в точку
r' = r+T (3.124)
выполняется равенство
exp (iG • г') = exp (t'G • г) exp (Ю • Т). (3.125)
Если G и Т определяются формулами (1.43) и (1.42), то
величина exp(t'G*T) должна быть равна единице. Следовательно,
величина exp(iG*r) и все выражение в квадратных скобках
в (3.123) обладают периодичностью решетки, как и сама
величина Uk®. Поэтому при желании достаточно рассматривать
значения к, лежащие в первой зоне Бриллюэна.
Для колебаний решетки в одноатомном твердом теле было
установлено, что данному волновому вектору соответствует
только одно решение (одна частота, одна энергия фонона).
Однако в твердом теле с многоатомным базисом данному
волновому вектору соответствуют две возможные энергии фонона,
принадлежащие оптической и акустической ветви. Для
электронных состояний в зонной теории ситуация еще более сложна.
Уравнение (3.111) имеет для данного значения к бесконечный
ряд блоховских решений с последовательно возрастающими
энергиями.
Говорят, что решения зонной теории записаны в
представлении приведенных зон, если энергия электрона задана как
многозначная функция к в интервале волновых векторов,
ограниченном первой зоной Бриллюэна. Такое представление часто
используется. Однако иногда полезно использовать
представление расширенных зон, в котором энергия является
однозначной функцией волнового вектора на протяжении интервала,
в два или более раз превышающего ширину зоны. Последнее
представление обычно используют, когда исследуется зависи-
254
Гл. 3. Электроны в металлах
мость энергии от к при переходе от одной зоны Бриллюэна
к другой и при появлении разрывов энергии на границе зоны,
обусловленных конечным периодическим потенциалом.

Ви переглядаєте статтю (реферат): «Функции Блоха» з дисципліни «Фізика твердого тіла»

Заказать диплом курсовую реферат
Реферати та публікації на інші теми: Модель оцінки дохідності капітальних активів (САРМ)
ЗВІТ ПРО РУХ ГРОШОВИХ КОШТІВ
ЗМІСТ ТА ОСНОВНІ ЗАВДАННЯ ФІНАНСОВОЇ ДІЯЛЬНОСТІ СУБ’ЄКТІВ ГОСПОДА...
ПРАКТИКА ВИКОРИСТАННЯ РІЗНИХ ФОРМ ФІНАНСОВОЇ САНАЦІЇ НА ПРИКЛАДІ ...
Критерії класифікації кредитних операцій


Категорія: Фізика твердого тіла | Додав: koljan (01.12.2013)
Переглядів: 1079 | Рейтинг: 0.0/0
Всього коментарів: 0
Додавати коментарі можуть лише зареєстровані користувачі.
[ Реєстрація | Вхід ]

Онлайн замовлення

Заказать диплом курсовую реферат

Інші проекти




Діяльність здійснюється на основі свідоцтва про держреєстрацію ФОП