Пространственная зависимость потенциала, действие которого испытывает в кристалле внешний электрон, была рассмотрена Феликсом Блохом39, сделавшим в результате своего анализа ряд существенных выводов. Полный потенциал V® состоит из суммы двух частей. 1. Электростатического потенциала, обусловленного распределением атомных остатков. Для идеальной решетки (т. е. для решетки без фононов) этот вклад в У (г) будет обладать трансляционной периодичностью решетки. 2. Потенциала, обусловленного всеми остальными внешними электронами. Блох предположил, что плотность заряда, создаваемая этими электронами, имеет одно и то же среднее по времени значение в каждой элементарной ячейке кристалла и, следовательно, также является периодической функцией. Такое предположение, разумеется, удовлетворяет требованию электронейтральности и грубо учитывает электрон-электронное отталкивание. Таким образом, согласно Блоху, полная потенциальная энергия T®=—eV(v)y которая должна быть подставлена в уравнение Шредингера (3.111), обладает периодичностью решетки. Отсюда он заключил, что волновые функции, удовлетворяющие уравнению (3.111) с таким потенциалом, должны иметь вид %® = f/^r)exp(tk.r), (3.112) где Uk(t)—некоторая функция (зависящая от величины волнового вектора к), также обладающая периодичностью решетки. Уравнение (3.111) принадлежит семейству дифференциальных уравнений, известных в математике как уравнения Хилла. Из периодичности Т[г) следует, что должны существовать решения типа (3.112). Это утверждение математики называют теоремой Флокэ. Однако, когда речь идет о поведении электронов в периодической решетке, теорему, приводящую к функциям вида (3.112), обычно называют теоремой Блоха, а сами функции — функциями Блоха. Они оказываются очень полезными. Чтобы обсудить теорему Блоха для очень упрощенной гео- 38 Заинтересованный (и хорошо подготовленный) читатель найдет ссылки на ряд методов задач многих тел в книге Андерсона: [Concepts in Solids, ed. P. W. Andersson, Benjamin, 1964]. 39 Block F.— Z. Physik, 52, 555 (1928). 3.4. Зонная теория твердых тел 251 Рис. 3.22. Периодический потенциал линейной моноатомной решетки. Можно предположить, что через некоторое произвольное число N элементарных ячеек волновые функции всех собственных состояний будут повторяться. метрии, представим линейную цепочку идентичных атомов с межатомным расстоянием а. Атомы отдают свои электроны, которые образуют вырожденный одномерный электронный газ, а положительные атомные остатки создают электрический потенциал, представляющий собой ряд периодических максимумов, как показано на рис. 3.22. [Следовательно, потенциальная энергия электрона У[х)=—eV(x) имеет ряд последовательных периодических минимумов.] Поскольку потенциал обладает периодичностью решетки, для любого значения х V(x) = V(x + a). (3.113) Решение одномерного уравнения (3.111) для потенциальной энергии У (х) существует. Наложим теперь циклическое граничное условие типа Борна — Кармана, состоящее в том, что волновая функция периодически повторяется через каждые N единичных ячеек, где N — большое произвольно выбранное число. Тогда ty(x) = ty{x + Na) (3.114) для любого значения х. Ввиду трансляционной симметрии нашей модели представляется вероятным, что волновая функция в одной единичной ячейке связана с волновой функцией в следующей ячейке соотношением типа $(х+а) =/$(*), (3.115) 252 Гл. 3. Электроны в металлах где / — функция, которую следует определить. Отсюда вытекает, что для точек, разделенных несколькими единичными ячейками, выполняется соотношение y(x + ma) = Jm\p(x) (3.116) и, в частности, что ty(x + Na) = JNit>(x) (3.117) Сравнение выражений (3.114) и (3.117) показывает, что / должно быть одним из N корней N-й степени из единицы: У = ехр(2яШ/Л0, (3.118) где М — целое число. Очевидно, все наши требования, наложенные на волновую функцию, будут удовлетворяться, если записать i|)(x) в виде произведения двух функций *|> (х) = UM (х) ехр (2мМхШа), (3.119) где первый множитель UM(x) есть функция, которая, подобно V(x), обладает трансляционной периодичностью решетки. Теперь каждое конкретное значение М может быть сопоставлено с конкретным значением волнового вектора к, определяющего периодичность волновой функции. Поскольку второй множитель в выражении (3.119) на расстоянии Na проходит М полных периодов, мы можем связать k и М соотношением k = 2nMINa. (3.120) Воспользовавшись этим определением в формуле (3.119), получаем волновую функцию Ц(х)= Uk(x)exp(ikx), (3.121) представляющую собой результат Блоха для одномерного случая. Справедливость этого результата может быть показана для двух и трех измерений. В формуле (3.119) нет необходимости использовать значение М, превышающее ±(N/2), что соответствует к=±(я/а). Любой дополнительный периодический множитель может быть отнесен к амплитуде Uk(x) блоховской функции. Речь идет о том, что интервал изменения волнового вектора от k= (—я/а) до k=( + n/a) [что соответствует изменению М от (—N/2) до ( + N/2)] образует первую зону Бриллюэна, как это было показано в гл. 1 и 2. Большие значения М (т. е. большие значения k) соответствуют точкам в зонах Бриллюэна, расположенных дальше от начала координат в к-пространстве. Выбор наименьшего возможного значения для к означает, что волновой функции любого электронного состояния соот* ЗА. Зонная теория твердых тел 253 ветствует точка в первой зоне Бриллюэна к-пространства с любым числом измерений: одномерного, двумерного и трехмерного. Как и в случае для колебательных состояний решетки, изменение волнового вектора на вектор обратной решетки k' = k±G (3.122) приводит с точки зрения наблюдаемого электронного движения к состоянию, эквивалентному к. Применяя преобразование (3.122) к волновой функции (3.112), получаем t|v (г)= [tfft®exp(ffi-r)]exp(ik'.r). (3.123) Рассмотрим множитель exp(t'G*r), который теперь появился в блоховской функции, и покажем, что он обладает периодичностью решетки. При трансляции в реальном пространстве в точку r' = r+T (3.124) выполняется равенство exp (iG • г') = exp (t'G • г) exp (Ю • Т). (3.125) Если G и Т определяются формулами (1.43) и (1.42), то величина exp(t'G*T) должна быть равна единице. Следовательно, величина exp(iG*r) и все выражение в квадратных скобках в (3.123) обладают периодичностью решетки, как и сама величина Uk®. Поэтому при желании достаточно рассматривать значения к, лежащие в первой зоне Бриллюэна. Для колебаний решетки в одноатомном твердом теле было установлено, что данному волновому вектору соответствует только одно решение (одна частота, одна энергия фонона). Однако в твердом теле с многоатомным базисом данному волновому вектору соответствуют две возможные энергии фонона, принадлежащие оптической и акустической ветви. Для электронных состояний в зонной теории ситуация еще более сложна. Уравнение (3.111) имеет для данного значения к бесконечный ряд блоховских решений с последовательно возрастающими энергиями. Говорят, что решения зонной теории записаны в представлении приведенных зон, если энергия электрона задана как многозначная функция к в интервале волновых векторов, ограниченном первой зоной Бриллюэна. Такое представление часто используется. Однако иногда полезно использовать представление расширенных зон, в котором энергия является однозначной функцией волнового вектора на протяжении интервала, в два или более раз превышающего ширину зоны. Последнее представление обычно используют, когда исследуется зависи- 254 Гл. 3. Электроны в металлах мость энергии от к при переходе от одной зоны Бриллюэна к другой и при появлении разрывов энергии на границе зоны, обусловленных конечным периодическим потенциалом.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Функции Блоха» з дисципліни «Фізика твердого тіла»
