Как было указано выше, Зоммерфельд использовал статистику Ферми — Дирака, но сохранил основные допущения Лоренца при решении кинетического уравнения. Среди них было и допущение о том, что электроны должны испытывать соударения с атомными остатками. Вследствие этого полученное им выражение (3.77) для электропроводности находилось в противоречии с величиной и температурным ходом электропроводности в металлах, известными из эксперимента. Поскольку результат Зоммерфельда содержит в знаменателе не зависящую от температуры скорость s(eF) = (2ef /m)1/2 ~ 10е м/с, (3.81) единственной величиной в (3.77), которая может зависеть от температуры, оказывается средняя длина свободного пробега. Из экспериментальных значений электропроводности, которые приведены, например, в табл. 3.1 и 3.2, следует, что для хороших проводников величина A,(sf) должна составлять при комнатной температуре несколько сотен ангстрем и становится еще больше при низких температурах20. Это находится в вопиющем противоречии с величиной ~10 А, которая следует из формулы (3.7) для всех температур. Таким образом, необходимо как-то ответить на два вопроса. 1. Почему ожидаемые упругие соударения электронов с атомными остатками не происходят? 2. Какие процессы рассеяния на самом деле определяют среднюю длину свободного пробега? Обсуждение легче начать со второго вопроса. Электроны, несомненно, должны рассеиваться как фононами, так и остаточными дефектами решетки. Под действием остаточных дефектов понимают рассеяние посторонними атомами, вакансиями, междоузельными атомами, дислокациями, границами зерен и внешними поверхностями21. Средняя длина свободного пробега 20 Для данной величины электропроводности модель Зоммерфельда (3.77) требует значительно большей длины свободного пробега, чем классическая модель [выражение (3.19) или (3.34)], поскольку скорость электронов проводимости в вырожденном газе гораздо больше, чем средняя скорость, получающаяся из распределения Максвелла. Следовательно, средние длины свободного пробега, приведенные в табл. 3.2, возрастут примерно на два порядка, если их вычислять по квантовой модели. Эта разница исследуется в задачах 3.3. и 3.16. 21 Если такие дефекты, как вакансии, междоузельные атомы и т. д., действительно остаточные, то их вклад в электрическое сопротивление может не зависеть от температуры, как предполагается при использовании правила Маттисена. Обычно такое предположение разумно для температур, лежащих значительно ниже точки плавления, когда можно ожидать, что 1Дефб^А,фон. Конечно, при температурах, близких к точке плавления твердого тела, проис* 230 Гл. 3. Электроны в металлах А/деф, обусловленная только рассеянием на дефектах, не должна зависеть от температуры, в то время как средняя длина свободного пробега для фононного рассеяния А,фОН будет уменьшаться с повышением температуры. При одновременном действии этих двух механизмов (и в пренебрежении действием упругого рассеяния на ионах, как если бы его не было) средняя длина свободного пробега должна иметь вид 1/А,= 1/ЬдаФ+Мфон. (3.82) аналогичное соотношение имеет место для электропроводности 1/(7 = 1/<7деф + 1/<7фон, (3.83) как показано на рис. 3.15. Такое сложение компоненты удельного сопротивления, зависящей от температуры и не зависящей от чистоты кристалла, и компоненты, не меняющейся с температурой, но зависящей от чистоты и совершенства21 кристалла, хорошо известно экспериментаторам и обычно называется правил ом Маттисена (1860). Можно ожидать, что средняя длина свободного пробега, определяемая рассеянием на фононах, для температур, значительно превышающих температуру Дебая, должна изменяться как Г""1, поскольку для таких высоких температур число фоно- нов всех частот пропорционально Т. На противоположном конце температурной шкалы (при Г<Сбя) можно ожидать, что фонон- ная плотность будет изменяться с температурой, как Г3. Более того, при низких температурах возбуждаются в основном длинноволновые фононы (см. задачу 2.16), которые могут рассеивать электроны только на малые углы. Суммарный эффект от изменения числа фононов и состава их спектра приводит к тому, что обусловленная фононами средняя длина свободного пробега при низких температурах должна изменяться, как Г~5. Пытаясь провести интерполяцию от этих двух предельных случаев на промежуточный температурный интервал, Грюнайзенв 1933 г. предложил полуэмпирическое выражение -J— = CTb Г — , (3.84) о которое оказалось в удовлетворительном согласии с данными по температурной зависимости электропроводности многих ме- ходит тепловая генерация вакансий и междоузельных атомов (как показано на рис. 1.54), и, очевидно, правило Маттисена в этих условиях не выполняется. 3.3. Квантовая теория свободных электронов 231 Рис. 3.15. Электрическое удельное сопротивление металла, достигающее при низких температурах постоянного значения, обусловленного рассеянием на дефектах (остаточное сопротивление), и складывающееся с ним сопротивление, обусловленное рассеянием на фононах. В соответствии с правилом Маттиссена эти два удельных сопротивления просто складываются. На рисунке приведены данные для натрия из работы: MacDonald D. /С. С, Mendelssohn К.— Ргос. Roy. Soc, А202, 103 (1950). О 5 fO 15 20 25 таллов. Кривая для меди на рис. 3.1 находится в довольно хорошем согласии с выражением Грюнайзена до тех пор, пока не начинает преобладать рассеяние на дефектах (ниже 20 К). Таким образом, можно существенно продвинуться в объяснении величины и температурной зависимости средней длины свободного пробега и электропроводности, если удастся на законном основании отказаться от представления об упругом рассеянии на упорядоченном распределении ионов. Необходимость отказа от этого представления оказывается совершенно естественной, если мы рассматриваем электрон в идеальном кристалле как волну, для которой влияние периодического электрического потенциала уже учтено путем периодической пространственной модуляции волновой функции.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Загадка нерассеивающихся электронов» з дисципліни «Фізика твердого тіла»
