Реферати статті публікації

Пошук по сайту

Головна » Реферати та статті » Фізика » Фізика твердого тіла

Статистика Ферми—Дирака для электронного газа

Предполагается, что читатель знаком с представлением об
электронном спине и с принципом запрета Паули, поэтому
приводимое ниже обсуждение статистики Ферми — Дирака будет
кратким.
Электроны в металле обычно обладают как кинетической,
так и потенциальной энергией, зависящей от пространственного
положения электрона. Пока рассмотрим газ свободных
электронов, потенциальная энергия которого произвольно положена
равной нулю. Тогда полная энергия электронного газа
совпадает с кинетической и электрон со скоростью v и импульсом
p = mv имеет энергию е=(р2/2пг). В силу постулированной
де Бройлем эквивалентности волновых и корпускулярных
представлений этот электрон обладает волновым вектором к= (р/Щ-
Электрон может быть представлен вектором, проведенным из
начала координат в определенную точку v-, р- или
^-пространства, или самой этой точкой. Одна из таких точек к-простран-
ства показана на рис. 3.6. Заметим сразу, что все точки
k-пространства, находящиеся на одинаковом расстоянии от
начала координат, будут иметь одну и ту же энергию, поскольку
выражение
e = ^lkl + kl + kl\ = -fL (3.40)
2m 2m
не зависит от направления к.
С классической точки зрения допустимо любое значение
волнового вектора, и не существует ограничений на число
электронов с одним и тем же волновым вектором. Первый из
этих двух классических постулатов был опровергнут
принципом неопределенности Гейзенберга (1925 г.), второй —
принципом запрета Паули (1925 г.). Объединение этих двух принципов
приводит к статистике Ферми — Дирака (1926 г.).
Формулируя условия выполнения принципа
неопределенности Гейзенберга, потребуем, чтобы волновые функции
электронов удовлетворяли уравнению Шредингера с определенными
граничными условиями п.
11 Предполагается, что читатель в какой-то степени знаком с квантово-
механическим языком современной физики. Напомним, что, согласно
принципу неопределенности Гейзенберга, существует связь между энергией
электрона е и зависящей от координат функцией, описывающей волну и дающую
вероятность обнаружить электрон в некоторой точке пространства. Волновая
3.3. Квантовая теория свободных электронов
211
Рис. 3.6. Точка в k-пространсгве служит
для описания поведения электрона.
Компоненты волнового вектора к
характеризуют периодичность волновой функции з
различных направлениях.
Здесь, так же как и для фононов, используется представление
о циклических граничных условиях (волновая функция -ф
периодична с периодом L вдоль каждой декартовой оси
координат). Решение для электронной волновой функции, имеющее
вид плоской волны,
г|) = Сехр(*к-г) (3.41)
может существовать только, если выполнены условия
kx = 2nnxIL9
ky = 2Ttny/L,
kz=2nnzIL, (3.42)
функция *ф (которая может быть комплексной) принимает такие значения,
что величина — е|*ф|2 представляет собой плотность электрического заряда,
получающуюся в результате усреднения движения электронов за бесконечно
длительный период времени. Величины е и if связаны уравнением Шредин-
гера:
[(— hV2m) V2 + Т(т)\ г|) = гг|),
где У (г) — потенциальная энергия электрона, зависящая от координат.
Поскольку электрон обладает зарядом —е, в электростатическом потенциале
V® он обладает потенциальной энергией У(т) =—eV®. В зонной теории
энергия У (г) конечна и обладает периодичностью кристаллической решетки,
что будет рассмотрено дальше. В квантовой теории свободных электронов
предполагается, что всюду У (г)=0, так что е и \|э должны быть связаны
уравнением
(— h2/2m) V2^ = еф.
Решения этого волнового уравнения имеют вид г|)=Asin(к• r) +Bcos(к-г), или
*ф=Сехр(/к-г), если e=(h2k2/2m), и подчиняются определенным граничным
условиям. Эти граничные условия могут, например, быть поставлены так, что
функция -ф должна обращаться в нуль на замкнутой поверхности в
координатном пространстве (задача о частице в ящике). Тогда разрешенными
становятся только стоячие волны. Используя идею Борна — Кармана о
циклических граничных условиях, так же как это делалось для колебательных мод
решетки, мы получим при той же плотности состояний бегущие волны, что
имеет больший физический смысл.
212
Гл. 3. Электроны в металлах
о о
о о
о о
л°-
о О
Рис. 3.7. Некоторые из разрешенных точек в k-простраистве для циклических
граничных условий с периодом L для каждого из направлений в реальном
пространстве. Все k-пространство будет заполнено, если каждая
разрешенная точка окружена кубом объемом (2я/£)3. Один такой куб показан на
рисунке.
где пх, пу и nz — вещественные целые числа. Теперь
допустимым волновым функциям соответствуют только определенные
точки k-пространства, так что k-пространство будет заполнено,
если каждая из этих точек окружена кубической ячейкой,
имеющей объем (2n/L)3 (рис. 3.7).
Для реального металлического кристалла макроскопических
размеров эти «ячейки» очень малы, а их число очень велико.
Поэтому (как и в случае колебаний решетки), вычисляя число
состояний, расположенных в пространстве волновых векторов
между сферами радиусами k и k+dk, можно записать его как
(k2L*/2n2)dk. Тогда на единицу объема кристалла приходится
(k2/2n2)dk ячеек, попадающих в пределы скалярного интервала
dk изменения волнового вектора. Плотность допустимых
электронных состояний вдвое больше этой величины из-за двух
возможных направлений спина электрона. Волновые функции для
электронов со спинами ±1/2 в соответствии с принципом Паули
рассматриваются как различные разрешенные состояния, хотя
они и обладают одинаковыми значениями kx, ky и kz. Таким
образом, число электронных состояний на единицу объема
в бесконечно малом интервале энергий или интервале
изменения волнового вектора равно
g (г) de = g (k) dk = (klnf dk. (3.43)
3.3. Квантовая теория свободных электронов
213
Рис. 3.8. Энергия электрона е как функция величины его волнового вектора
в соответствии с формулой (3.40) (а) и плотность различимых квантовых
электронных состояний g(e) как функция энергии для свободных электронов
согласно формуле (3.44) (б).
Поскольку энергия и волновой вектор связаны равенством
(3.40) (как показано на рис. 3.8,а), величину к можно
исключить, получив связь между энергией электрона и плотностью
электронных состояний:
(3.44)
Этот параболический закон изменения плотности состояний
показан на рис. 3.8, б.
Рассуждения, с помощью которых в гл. 2 была получена
величина g(k) для колебательных состояний, совершенно
аналогичны приводимым здесь — следует отметить сходство формул
(2.27) и (3.43). Поскольку закон дисперсии для электронов
отличен от закона дисперсии для фононов, сходство между
функциями g(co) для фононов (задача 2.4) и g(e) для
электронов [формула (3.44)] гораздо меньше.
Однако основное различие между квантовыми
распределениями фононов и электронов состоит в том, что фононы
подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна, которая не налагает
ограничений на число возбужденных фононов данной моды, в то
время как электроны, будучи фермионами, должны подчиняться
принципу запрета Паули. Из-за этого число заполнения
электронами любого разрешенного состояния может иметь только
два значения: единицу или нуль. В термодинамическом
равновесии при температуре Т выражение Ферми — Дирака для
вероятности заполнения состояния с энергией е имеет вид
/(в)=.
1
1 + В exp (elk0T)
1 + е
\ k0T )
(3.45)
214
Гл. 3. Электроны в металлах
Здесь В — безразмерный параметр нормировки. Нормировку
можно выполнить и с помощью параметра е* =—k0T\r\B,
имеющего размерность энергии. Условие нормировки состоит в том,
что величина
з/2 Г е1/2</е
должна быть равна полной концентрации электронов в единице
объема.
Если в единице объема электронного газа содержится очень
мало электронов, то условие нормировки (3.46) при обычных
температурах выполняется для отрицательного значения
параметра 8f. В этом случае функция распределения является больц-
мановской для всех реальных значений кинетической энергии,
причем f(e)«Cl даже для электронов с самыми малыми
энергиями. Однако в реальном металле полная плотность
электронов настолько велика, что равенство (3.46) может
соответствовать отрицательному значению eF только для температур,
превышающих 105 К. При обычных температурах величина ef
в металле должна быть положительной; ее значение обычно
называют энергией Ферми или уровнем Ферми.
Представим себе, что металлический «остов», состоящий из
периодически расположенных атомных остатков, лишен
электронного газа, присутствие которого в реальном металле
необходимо для соблюдения условия электростатической
нейтральности. Пусть теперь к ионному остову добавляются электроны
до тех пор, пока электрическая нейтральность не будет
восстановлена. Для простоты предположим, что такой процесс
восстановления происходит при температуре абсолютного нуля.
Первые добавленные электроны займут состояния с
наименьшей возможной кинетической энергией, которым
соответствуют большие длины волн и малые значения волнового
вектора, поскольку е= (h2k2/2m). Следующие добавленные
электроны должны попасть в области k-пространства, отстоящие
дальше от начала координат, поскольку области, ближайшие
к началу координат, уже заняты. Далее электроны должны
последовательно заполнять сферические оболочки к-простран-
ства, соответствующие все большей энергии. Наконец, число
добавленных электронов окажется достаточным для
восстановления нейтральности, и последние электроны займут
состояния, соответствующие низкотемпературной энергии Ферми 8fo,
„_ Г,(.„<„*_ JL(Ji)
3.3. Квантовая теория свободных электронов
215
(О
44 0,5
О
Рис. 3.9. Функция заполнения Ферми—Дирака [формула (3.45)] для
плотного электронного газа при обычных температурах. Энергия Ферми, равная
3,1 эВ, соответствует металлическому натрию. Таким образом, видно, что
для натрия при комнатной температуре заполнение будет полным вплоть до
энергии 0,95ef и нулевым для энергий выше 1,058f.
удовлетворяющей уравнению
п= _J_(^f2 8f°eV2d8 = ^L_f^^LY/2 , (3.47)
2я2 V ft2 / о Зл2 ^ h2 J v '
или, в численном виде,
п = 4,55Ю2783/02 м"3, (3.48)
где энергии выражены в электронвольтах. Поскольку металлы
обычно содержат более 1028 свободных электронов в 1 м3,
низкотемпературная энергия Ферми
en = (3n2n)Wh2/2m (3.49)
составляет несколько электронвольт.
Кривые f(e) и /(e)g(e) на рис. 3.9 и 3.10 обнаруживают
резкий спад при абсолютном нуле. Это означает, что параметр
нормировки, называемый энергией Ферми, представляет собой
максимально возможную энергию электрона в электронном
газе. Как видно из другой кривой на рис. 3.9, ситуация не
слишком сильно изменяется даже при температурах
значительно выше абсолютного нуля. Заметим, что функция
заполнения /(e) падает от единицы до нуля, когда энергия проходит
интервал в несколько k0T с центром в точке 8f. Поскольку
величина k0T при 300 К составляет всего 0,026 эВ, переходная
область очень узка, и при всех температурах, лежащих ниже
точки плавления металла, число занятых состояний с энергией
выше е^ очень мало.
OfiS 0,10 3,0 30 3,10
Энергия, эВ/злектрон
216
Гл. 3. Электроны в металлах
1
*-
.1
1*
s ^
S
/ п
/ 1
1 1
\9(£)
\f©ge)\
Хт>о
о eF0
Энергия электрона
Рис. 3.10. Плотность электронных состояний как функция энергии в модели
свободных электронов и плотность заполненных состояний в соответствии
с законом Ферми — Дирака. При конечных температурах энергия очень
медленно сдвигается вниз от своего положения при абсолютном нуле (см.
задачу 3.10). На рисунке этот сдвиг сильно преувеличен. Изображенная здесь
кривая для 7>0 для большинства металлов соответствовала бы
температуре нескольких тысяч Кельвинов.
Строго говоря, существует различие между параметром sfo,
который определяется полной плотностью свободных
электронов согласно равенству (3.49), и параметром 8f, определяемым
из условия нормировки (3.46) для конечной температуры. При
любой температуре величина ef представляет собой энергию,
для которой вероятность заполнения равна 1/2; иногда ее
называют химическим или электрохимическим потенциалом. Как
показано на рис. 3.10, величина eF слегка падает с повышением
температуры. Качественно это легко понять: с повышением
температуры в результате теплового возбуждения оказываются
заполненными дополнительные состояния выше е^о, поэтому
какое-то число состояний ниже zfo становится незанятыми.
Поскольку g(s) с энергией растет, энергия, соответствующая
50%-ному заполнению, должна снижаться по мере того, как
увеличивается тепловое уширение переходной области.
Чтобы выразить температурную зависимость энергии Ферми
количественно, обратим внимание на то, что выражение (3.46)
содержит интеграл, принадлежащий семейству интегралов
Ферми — Дирака
ы=|7
F,(th)=
yfdy
+ ехр(у — 9в)
(3.50)
Интегралы этого семейства не могут быть выражены в
элементарных функциях для произвольного значения у0, однако су-
3.3. Квантовая теория свободных электронов
217
ществуют их асимптотические выражения для больших
отрицательных и больших положительных значений уо12. Таблицы
численных значений для интегралов Ферми — Дирака целого
и полуцелого порядков опубликованы13.
Асимптотически для больших отрицательных уо эти
интегралы имеют вид
^/Ы * Г(/+ 1)ехр(у0), (—уо>2). (3.51)
Это выражение будет использовано в гл. 4 при рассмотрении
малых плотностей электронов в полупроводнике. Для
электронных плотностей порядка тех, что существуют в металлах,
интересен асимптотический вид интеграла Ферми — Дирака для
больших положительных */о, когда решение представляет собой
ряд, начинающийся со следующих двух членов:
ЛЫ«-^[1 + -^^+..."и>1. <3.52)
Последующие члены ряда содержат возрастающие степени у0~2.
Если / — целое число, то ряд конечен, если / — не целое число,
то Fj(y0) представляет собой бесконечный сходящийся ряд.
В любом случае, если уо достаточно велико, можно
ограничиться первыми двумя членами.
В задаче 3.10 читателю предлагается, сравнивая
выражения (3.46), (3.49), (3.50) и (3.52), убедиться, что в металле
энергия Ферми при любой конечной температуре связана
с энергией Ферми при 7 = 0 соотношением
е,&в„\1--&&-]. ((3.53)
L ™4о J
12 Асимптотические выражения для больших положительных уо впервые
обсуждались Зоммерфельдом (Sommerfeld A. Z.— Physik, 47, 1 (1928), после
чего многократно рассматривались аналитические свойства этих интегралов.
Большая часть этого материала приводится в приложении III книги: Блейк-
мор Дж. Статистика электронов в полупроводниках.—М.: Мир, 1964. Для
ряда аналитических свойств может оказаться более удобным использование
функций !Fj(yo)y которые связаны с Fj(yo) соотношением
/7/<W = r;(/+1)^«(ю.
13 Таблицы для Fi/2(yo) и для других интегралов с полуцелым индексом
были вычислены, они приведены в работе: Mc-Dougall /., Stoner Е. С—
Phil. Trans. Roy. Soc, A237, 67 (1938). Имеются таблицы и в ряде
современных работ*. Сводку этих данных, полученных для функции JFjO/o), см.
в приложении II книги: Блейкмор Дж. Статистика электронов в
полупроводниках.—М.: Мир, 1964.
* Таблицы интегралов Fj(y0) для различных значений / приведены в
монографии: Фистуль В. И. Сильно легированные полупроводники.— М.: Наука,
1965.— Прим. ред.
218
Гл. 3. Электроны в металлах
Как подтверждает численный пример в этой задаче,
изменение энергии eF с температурой очень мало, и в дальнейшем мы,
как правило, будем говорить об энергии Ферми eF, не
указывая температуру, к которой она относится.

Ви переглядаєте статтю (реферат): «Статистика Ферми—Дирака для электронного газа» з дисципліни «Фізика твердого тіла»