До сих пор мы изучали гравитационную неустойчивость плазмы в однородном магнитном поле. Если внешнее гравитационное поле отсутствует, но магнитное поле йеоднородно, то, возможно, градиент магнитного поля приведет к желобковой неустойчивости, причем роль гравитационного дрейфа играет здесь дрейф за счет неоднородности магнитного поля. Таким образом, разделение зарядов происходит из-за магнитного градиентного дрейфа. Частично этот дрейф возникает благодаря центробежной силе при движении частицы вдоль искривленной силовой линии. Однако полной аналогии между гравитационной неустойчивостью и неустойчивостью в неоднородном магнитном поле нет. В последнем случае появляются эффекты магнитного сжатия или расширения, когда плазма движется перпендикулярно поверхности В = const под влиянием электрического поля со скоростью иЕ = ЕхВ/В2. Критерии устойчивости при этом могут измениться [101]. Указанные эффекты сжатия можно объяснить при помощи результатов, полученных в разделе 2.3 гл. 5, §-6.1 и разделе 2.2 гл. 6, где показано, что поверхности постоянной плотности и отдельные частицы движутся с различными скоростями. Приведем простой пример влияния таких эффектов на развитие желобковой неустойчивости. Рассмотрим цилиндрическую конфигурацию (рис. 8.2), имеющую, однако, конечный градиент плотности плазмы в радиальном направлении. Искажение поверхности постоянной плотности приведет к появ- лению электрического поля Е и соответствующего ему дрейфового движения (см. рис. 8.2). Будем считать, что градиенты давления и плотности вдоль силовых линий быстро размываются, так что возмущение не зависит от азимутальной координаты ф. В этом случае смещения подобны изображенным на рис. 6.2, а. Как и в предыдущих случаях, поверхностные заряды возникают из-за дрейфового движения ионов и электронов на невозмущенной поверхности N = const. Теперь, однако, движение возмущенных поверхностей постоянной плотности связано не только с переносом вещества со скоростью 270 Ex ВIВ2. Одновременно возникают дополнительные эффекты из-за сжатия и расширения при движении поперек поверхности В = const, причем скорость сжатия пропорциональна div(ЕхВ/В2), т. е. локальные изменения плотности происходят не только из-за конвекции со скоростью (ЕхВ/В2) ^N = — (EJB)(dN(dr)9 но и из-за магнитного сжатия со скоростью N d\v(ExB/B2) = = 2N(EJB2)(dB/dr). Это следствие того, что, дрейфуя в неоднородном магнитном поле, частицы сосредоточиваются в радиальном направлении, поперек поверхности В = const, т. е. неоднородность магнитного поля влияет на распределение поверхностного заряда и тем самым на раскачку желобковой неустойчивости. Рассмотрим случай конечного градиента плотности на внешней границе плазмы (см. рис. 8.2). Мы видим, что там, где возмущение плотности было наибольшим, оно станет меньше, ибо движение происходит в направлении более слабого магнитного поля, так как согласно уравнению F.13) /г/В2 = const. Отсюда следует, что неустойчивость подавляется неоднородностью магнитного поля. Исследуем теперь детально задачу об устойчивости данной конфигурации при условии, что характерная длина изменения невозмущенной плотности много больше наименьшей длины волны. Для простоты рассмотрим только эффекты низших порядков, предполагая, что тензор давления — скаляр, в уравнении E.25). Прежде чем перейти к исследованию уравнения (8.9), рассмотрим соотношение E.60), выражающее закон сохранения энергии. Не нарушая общности, упростим задачу, предположив, что невозмущенное давление плазмы А, связано с плотностью N адиабатическим законом Pv = = const N&/\ Соотношение между возмущенными величинами непосредственно следует из выражения E.60) и справедливо для всех точек в пространстве Л = 15ГП- (8-43) 271 Учитывая малость ГСМин и используя уравнение (8.43), преобразуем выражение (8.9) dt где *Т$+к» + 5 -2-*, -> -* ДГ х = у — 10PV Uj) v^v ~ хв, BXvB, <7v V2 <ЭФ dt 1 (8.44) 3A^^V В3 (8.45) (8.46) u=yPX — . (8.47) Здесь wBv —скорость диамагнитного дрейфа. Скалярные произведения, в которых один из сомножителей есть любой вектор у N уВ или v Р^ а другой ив^ или щ, равны нулю. Используя ранее введенную систему координат (см. рис. 8.2), можно получить уравнения для возмущенных величин, аналогичные уравнениям (8.32) и (8.33) для ионов д л/ дФ . , . , v дТц е/ „2 ^Ф _ 5 -2-^2^ Sl^L (8.48) и для электронов -4--*.-§-+<«*.+«„)-§-• <8-49> 272 Используя уравнение (8.10), получаем при ег->ео F2 ж- (ыв''г - "в"^а ¦??+G,< -5"]($> "'•• ^=0, (8,50) где G/, =-(о/(В2/Л0К2-"ве2)(^'-)Wfi2)- Считая, что возмущенные величины пропорциональны exp[/(/?zz+<oOL получим дисперсионное соотношение <*=-\h (иви - ивег) [ 1 ± A - ГI''], (8.51) где г = 4а)(В2 (d/dr) (N/B*) = 6о)? еД2 . /<^_2А\ 52) Так как согласно предположению ^cmhh^^cn, a LCb = = B/\dB/dr\=ry то из выражения (8.51) следует, что ш почти не зависит от длины волны возмущения 2n/kz. При г-^оо мы переходим к плоской геометрии. В этом случае можно считать, что радиальная зависимость возмущения есть exp (ikrr). При этом изменяется величина Г, определяемая из формулы (8.52). Если исключить область вблизи оси симметрии, то это изменение сводится к тому, что k\ заменяется на (k2 +k22). Из выражений (8.46), (8.51) и (8.52) следует, что при рассмотрении вопроса об устойчивости необходимо различать три случая. 1. Если dN/dr и dB/dr имеют противоположные знаки, то магнитное поле вогнуто в сторону плазмы, как в случае остроконечной геометрии |(рис. 8.4, а и 8.2). Величина Г при этом отрицательна и система устойчива относительно желобковых возмущений, что согласуется с результатом, полученным из простых энергетических соображений. 2. Если dN/dr и dB/dr имеют один и тот же знак и, кроме того, (d/dr) (N/В2) >0У то магнитное поле вогнуто в сторону вакуума, причем плотность меняется в пространстве гораздо быстрее В2 (пробкотрон, см. рис. 8.4,6 или внешняя граница на рис. 8.2). Для ма- 273 лых ларморовских радиусов и малых дрейфовых скоростей uBiz—ива величина Г становится большой и положительной (Г>1). В этом случае система неустойчива. Однако при больших ларморовских радиусах Г уменьшается и при k\ больше некоторой критической величины квадратный корень в уравнении (8.51) становится действительным. Механизм этой стабилизации аналогичен описанному в § 2.3. Единственное различие состоит в том, что в рассматриваемом случае дрейф обусловлен градиентом магнитного поля, а не силой тяжести. 3. Если dN/dr и dB/dr имеют один и тот же знак, но (d/dr) • (NIB2) <0, то, хотя рассматриваемая геометрия пробочная (см. рис. 8.4,6 и 8.2), теперь В2 нарастает гораздо быстрее, чем N. Величина Г при этом отрицательна, следовательно, все рассматриваемые нами колебания устойчивы. Это следствие явления, описанного в начале данного параграфа: вещество движется поперек магнитного поля как за счет конвекции, так и из-за сжатия и растяжения. В рассматриваемом случае силы, приводящие к неустойчивости, ослаблены. Это особенно легко понять, рассмотрев частный случай, когда N/B2 = = const для всей плазмы. Тогда, взяв самый низкий порядок решения F.13), х и Г согласно уравнению (8.45) тождественно обращаются в нуль. В нашем примере несущественно, как движется элемент плазмы, так как его плотность равна плотности плазмы в той точке, куда он сместился. Отсюда следует, что поверхности постоянной плотности остаются неподвижными, какие бы движения в плазме не происходили. Следует отметить, что выражение (8.51) меняется при учете высших порядков, когда для тензора ионного давления используется более точное выражение (как, например, в § 2.5). Однако выводы относительно эффекта магнитного сжатия, который существует и при исчезающе малых ларморовских радиусах, не меняются. Если локальное термодинамическое равновесие не успевает восстанавливаться за счет соударений, то полученные результаты несправедливы и спектр скоростей частиц будет меняться в пространстве и во времени в зависимости от диамагнитного дрейфа.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Эффект магнитного сжатия» з дисципліни «Динаміка заряджених частинок»
