Из вышеизложенного следует, что при достаточно малом скачке плотности на внутренней границе плазмы возникающие силы достаточно малы и граница оказывается устойчивой относительно желобковых возмущений, заданной длины волны. В действительности плазма никогда не имеет резкой границы. Поэтому рассмотрим случай, когда градиент плотности имеет конечную величину. При этом следует помнить, что равновесные конфигурации, в которых поверхностный ток отделяет плазму без магнитного поля от вакуумного магнитного поля, локально устойчивы. Положение меняется при наличии в плазме магнитного поля, когда токи распределены по 261 объему и имеются конечные градиенты плотности и давления [141]. Предположим, что в невозмущенном состоянии распределение плотности таково, что градиент N'=dN/dy конечен (рис. 8.5,6). Будем рассматривать гравитационную неустойчивость в однородном магнитном поле В, учитывая, однако, эффекты теплового движения и конечного ларморовского радиуса. В то же время будем считать, что характерная длина изменения невозмущенной .плотности LcN = N/\dN/dy\ много больше, чем характерный размер возмущения, наиболее быстро изменяющегося в пространстве ГСМин. Наконец, пусть скорости вращения ионов до* и электронов we постоянны в пространстве в невозмущенном состоянии. Предположим, что это состояние испытывает возмущения синусоидальной формы в направлениях х и у, имеющее длины волн Lx = 2n/kx и Ly = 2ji/ky соответственно. На рис. 8.5, б показано, как при этом изменятся поверхности постоянной плотности. В частности, появляются горбы и впадины в распределении плотности, что приводит к разделению зарядов и появлению электрического ооля ?, как и в случае резкой границы (рис. 8.5, а). Воспользовавшись результатами разделов 1.2 и 4.3, а также уравнением D.110), получим, что магнитный момент M = mW2/2B есть величина постоянная как для ионов, так и электронов. Так как в рассматриваемом приближении В не зависит от уу то и И?? и W\ остаются постоянными при движении частиц. Позднее мы оценим вклад высших порядков в тензор давления. Сейчас же ограничимся приближением, когда тензор давления можно считать скаляром, т. е. (div*,)_]_^/(,_]_ у±Лг, (div*J±«/C*.LVjrt*. (8-30) согласно уравнению E.24). Как будет показано в разделе 2.5, это приближение справедливо для таких конфигураций, когда плотность зависит только от одной координаты, a LcN^>LCmhh= В рассмат- риваемом случае силовые линии магнитного поля прямые, а поперечные энергии в этом приближении Кц_ = 262 = М{В и Ke±_=MeB — постоянные величины. Преобразуем уравнение (8.9) -^ = -(^xW).^s+-^(J---L)(ixB)x N X V"v 4- b^SNxk-vn, div в — дФ v 1Г + + ¦ dt \ nv <?, V"» (8.31) Линеаризуя это уравнение и пренебрегая членами порядка {L-2 + L~2)-lIL2cNno сравнению с единицей в последнем слагаемом в правой части, получаем для ионов dt В и для электронов дпе ~~дГ ~ дФ , dni N \- uf — дх ; дх о>*В e^fi V dt -?.* +<*, + ..> дФ rn v dt дх (8.32) (8.33) где Uf = NfKi±lt'NBf a ug = —g/a>f. Отметим, что появление последнего слагаемого в правой части уравнения (8.32) обусловлено скоростью vg в уравнении E.53). Для (L72 f V2)"V^« 1 и е0«МЛ;/В2 из уравнений (8.10), (8.32), (8.33) можно получить '-**- + (ug + uf-uk)f-^- dt* dxdt + Ои?г](Ф,п1пе)==0, (8.34) где uh = Kii_N'INmnuu a Gie = —Ug(i)iN'/N. Здесь jvibi предположили, что члены, содержащие пи пе и Ф, в уравнениях (8.32) и (8.33) не обращаются в нуль каждый в отдельности. Иначе бы система была переопределена и ее можно было бы решить только в некоторых частных случаях. 263 При выводе уравнения (8.34) мы пренебрегли ео ш сравнению с NmJB2, что обычно является хорошим приближением. В этом случае альфвеновская скорость много меньше скорости света, а избыточный электрический заряд е(Пг—пе) очень мал. Заряд, возникший из-за гравитационного дрейфа, описывается правой частью уравнения (8.15). Он компенсируется зарядом, возникшим из-за инерционного дрейфа, который описывается слагаемым rriiN/B2 в левой части того же уравнения. Благодаря этому плазма ведет себя как поляризуемая среда с большой диэлектрической постоянной. Вообще существуют также другие эффекты разделения зарядов. Это будет показано в разделе 2.5. Для собственных колебаний типа exp[i(kxx+kyy+ + G)/)] уравнение (8.34) позволяет сразу получить дисперсионное соотношение [96, 169] ш = -у (а'* — Ьли, + kjix) ± ~ [(а,, — kxuf + kxukf— -4а<JT'' = у*и ± у«/.A -ГI/», (8.35) где а*е=—kxug, a Г = . (8.36) "« + *?)* В последнем члене формулы (8.35) мы положили Uf=tik. Раньше мы использовали обозначения щ и Uh только для того, чтобы легче исследовать различные физические эффекты, встречающиеся при решении задачи. Величина ии появляется в выражении (8.35) из последнего члена уравнения (8.32). Мы рассмотрим это более подробно в разделе 2.5, где установлено, что дисперсионное соотношение (8.35) соответствует случаю больших, но конечных градиентов плотности. Из полученного выражения для со видно, что о зависит от у. Поэтому может возникнуть вопрос, является ли выражение (8.34) истинным решением или нет, т. е. можно ли было решать данную задачу методами теории локальных возмущений. Для того чтобы ответить на 264 этот вопрос, воспользуемся сделанным в начале параграфа предположением LcN^>Lcmm. При этом из выражений (8.35) и (8.36) следует, что со почти не зависит от у для произвольных распределений N(y). В частном случае, когда N=const -exp (const -y)y дисперсионное соотношение для со не зависит от у и является точным решением уравнения (8.34). Таким образом, в теории локальных возмущений всегда можно выбрать такие функции N> которые дадут простые приближенные решения типа (8.35) в достаточно большой области пространства, причем эти решения будут довольно хорошо описывать наиболее существенные физические свойства данной задачи. Из уравнений (8.35) и (8.36) можно получить условие устойчивости Г<1, которое тесно связано с результатами (8.27) и (8.28) для резкой границы плазмы. Таким образом, при N'/g>0 все моды устойчивы, а градиент плотности и сила, возникающая из-за гравитации, действуют в одном направлении, как в первом случае. При Г>1 .плазма становится неустойчивой, так как возникающие при разделении заряда силы слишком велики. Это соответствует второму случаю § 2.3. Наконец, при 0<Г<1 и N'/g<0 дестабилизирующие эффекты подавляются, так как силы, возникающие при возмущении плотности, малы (плавное распределение плотности), а также из-за периодического изменения направления электрического поля, как это показано в третьем случае § 2.3. Возмущения плотности и электрического поля осциллируют при этом с конечными амплитудами. В рассмотренном шримере эффекты конечного лармо- ровского радиуса обусловливают шоявление членов щ и Uk, происходящих из шестого и седьмого слагаемых правой части уравнения (8.9). Если тензор давления можно считать скаляром [см. уравнение (8.30)], то вклады этих членов сокращаются, так как щ=иъ. Найденную здесь стабилизацию можно рассматривать как результат действия конечного градиента плотности в уравнении (8.36), когда |Г| уменьшается при увеличении \N\. Это можно также считать следствием эффекта Холла, что легко видеть, подставив уравнения (8.3) для ионов и электронов в обобщенный закон Ома [96]. Влияние эффекта Холла на устойчивость плазмы исследовано в работах [174, 175].
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Учет конечного градиента плотности» з дисципліни «Динаміка заряджених частинок»
